数列证明题型总结附答案VIP免费

一、解答题：1．在数列 {}an 中， a1＝1，an＋1＝2an＋2n.( Ⅰ) 设 bn＝ an2n－1，证明：数列 {}bn 是等差数列；( Ⅱ) 求数列 {}an 的前 n 项的和 Sn.【答案】( Ⅰ) 因为 bn＋1－bn＝an＋ 12n － an2n－1＝an ＋1－2an2n＝2n2n＝1所以数列 { bn} 为等差数列( Ⅱ) 因为 bn＝b1＋( n－1) ×1＝ n所以 an＝n· 2n －1所以 Sn＝1×20＋2×21＋⋯＋ n×2n－12Sn＝1×21＋2×22＋⋯＋ n×2n两式相减得Sn＝( n－1) · 2n＋12．在数列 { an} 中， a1＝12，an＋1＝12an＋12n＋1.( Ⅰ) 设 bn＝2nan，证明：数列 { bn} 是等差数列；( Ⅱ) 求数列 { an} 的前 n项和 Sn.【答案】( Ⅰ) 由 an＋1＝12an＋12n＋1，得 2n＋1an＋1＝2nan＋1 bn＋ 1＝bn＋1，则{ bn} 是首项 b1＝1，公差为 1 的等差数列．故 bn＝n，an＝ n2n.( Ⅱ) Sn＝1×12＋2×122＋3×123＋⋯＋ ( n－1) ×12n－1＋n×12n12Sn＝1× 122＋2× 123＋3× 124＋⋯＋ ( n－1) × 12n＋n× 12n＋1两式相减，得：12Sn＝12＋122＋123＋⋯＋12n－ n2n＋1＝12（1－ 12n）1－12－ n2n＋ 1＝1－12n－ n2n ＋1Sn＝2－12n－1－ n2n3．数列 { an}的各项均为正数，前n 项和为 Sn，且满足 4Sn＝( an＋1)2( n∈N*) ．( Ⅰ) 证明：数列 { an} 是等差数列，并求出其通项公式an；( Ⅱ) 设 bn＝an＋2an( n∈N*) ，求数列 { bn} 的前 n 项和 Tn.【答案】( Ⅰ) n＝1 时， 4a1＝( a1＋1)2? a21－2a1＋1＝ 0，即 a1＝1n≥2 时， 4an＝4Sn－4Sn－1＝( an＋1)2－( an－1＋ 1)2＝a2n－a2n－ 1＋2an－2an－ 1? a2n－a2n－1－2an－2an－1＝0? ( an＋an－1)[( an－ an－1) －2] ＝0 an>0 ∴an－an－1＝2故数列 { an} 是首项为 a1＝1，公差为 d＝2 的等差数列，且an＝2n－1( n∈N*)( Ⅱ) 由( Ⅰ) 知 bn＝ an＋ 2an＝(2 n－1) ＋22n－ 1∴Tn＝b1＋b2＋⋯＋ bn＝(1 ＋21) ＋(3 ＋ 23) ＋⋯＋ [(2 n－1) ＋22n－1]＝[1 ＋3＋⋯＋ (2 n－1)] ＋ (21＋23＋⋯＋ 22n－1)＝n2＋2（1－22n）1－4＝22n＋13 ＋ n2－23＝22n＋1＋ 3n2－234．数列 { an}的各项均为正数，前n 项和为 Sn，且满足 2Sn＝an＋1( n∈ N*) ．( Ⅰ) 证明：数列 { an} 是等差数列，并求出其通项公式an；( Ⅱ) 设 bn＝an· 2n( n∈N*) ，求数列 { bn} 的前 n 项...