数学竞赛—梅涅劳斯定理精选例题一VIP免费

【第一课时】精选例题例题 1 在△ ABC 中， AG 是角平分线， D 是 BC 中点， DG⊥AG 交AB 于 E，交 AC 延长线与 F，求证： BE=CF=)(21ACAB．例题 2 △ABC 中，∠ A 的外角平分线交BC 延长线于点D，∠ B、∠ C 的平分线交对边于E、F，求证： D、E、F 三点共线．例题 3 梯形 ABCD 中， AB ∥CD ，AC 、BD 交于点 E， BC、AD 的延长线交于点F,EF 分别交 AB 、CD 于 N、 M, 求证： AN=NB ．例题 4 过△ ABC 的重心 G 的直线分别交AB 、AC 于点 E、F，交 CB 于点 D。求证：1BECFEAFA．例题 5 已知点 D、E、F 分别在△ ABC 的 BC、CA 、AB 边上，且BDAFCEDCFBEA，又 AD 、BE、CF 交成△ LMN ，求LMNABCSSVV的值．例题 6 证明：笛沙格（Desargues ）定理：直线AA 1、BB 1、CC1 相交于 O 点，直线AB与 A 1B1 交于 X，BC 与 B1C1 交于 Y ，AC 与 A 1C1 交于 Z，那么 X、Y、 Z 三点共线．例题 7 证明：莱莫恩（Lemoine ）定理：过△ ABC 的三个顶点A 、B、C 作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB 所在直线交于 P、Q、R，则 P、Q、R 三点共线．直线PQR 称为△ ABC 的莱莫恩线．例题 8 如图，⊙ O1、⊙ O2 和⊙ O3 两两的外公切线分别交于P、Q、R 三点，求证： P、Q、R 三点共线．课后练习1．△ ABC 的两边 AB 、AC 上分别取点Q、R,满足 AQ:QB=2:1,AR:RC=1:2,连接 QR 交 CB延长线于 P，那么 PC : PB=_______ ．2．ABCD 为平行四边形， BC=12,DC=10, 对角线 AC 与 BD 交于 O,E 是 BC 延长线上一点，且 CE=4,OE 交 DC 于 F，那么 CF=_______．3．在△ ABC 中， D、E 分别是 BC、CA 上的点，且BD : DC=m : 1 ，CE : EA=n : 1， AD与 BE 交于 F，则△ ABF 与△ ABC 的面积之比为 _______．4．已知： AJ、BK 、CL 是△ ABC 的三个外角平分线，J、K、L是这些线与△ ABC 三边所在直线的交点，求证：J、K、 L 三点共线．5．△ ABC 三边 BC、AB 、CA 的中点分别是D、E、F，设 AD与 EF 交于 P，连接 CP 交 AB 于 Q，求证： AB=3AQ ．6．用梅涅劳斯定理证明：赛瓦（Ceva）定理：在△ ABC 内任取一点O ，直线AO 、 BO 、 CO 分别交对边于D 、 E、 F，则GFEDABCLKJABCR 1AFBD CEFB DCEAgg．7．用梅涅劳斯定理证明：西姆松（Simson ）定理：若从△ ABC 的外接圆上一点P 作 BC、AB 、AC 的垂线，垂足分别为D、E、F，则 D、E、F 三点共线．（此线常称为西姆松线）8．用梅涅劳斯定理证明：帕斯卡（Pascal ）定理：圆内接六边形ABCDEF的三双对边的延长线交于三点P、Q、R，则这三点共线． （此线称为帕斯卡线）