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高等数学竞赛讲座(笔记 ) 2009 年 9 月第一讲：极限1、数列极限：方法 ：重要极限：e11limnnn，1lim nnn，1limnna0a⋯⋯收敛准则：夹逼定理：若nnnzxyNn且azynnnnlimlim，则axnnlim；单调有界定理：单调有界数列必有极限；定积分定义：要求：xf在ba,上连续，则niiibaxfxxf10limd101d1limxxfnnifnin；级数收敛必要条件：若1nnu收敛，则0limnnu；构造函数法：记nfu n或nfun1，通过讨论xf的极限，得到nnulim。（ 注 意 ： 若Axfxlim， 则Anfnlim， 反 之 不 亦 ， 比 如 取xxfπsin，0sinlimnn，但xxsinlim不存在。）注：1、设nnxlim存在，则nxxxnn21lim也存在， 且nxxxnn21limnnxlim；（反之不亦）2、若0nx且nnxlim存在， 则nnnxxx21lim也存在， 且nnnxxx21limnnxlim；举例分析 ：例 1：（2006-1）设数列nx满足10x，nnxxsin1,2,1n，（1）证明nnxlim存在，并求其值； （2）求211limnxnnnxx解：（1）由10x知112sin0xxx；设nx0，则nnnxxxsin01，由归纳法得nx单调减少且有下界，故nnxlim存在；不妨设axnnlim，由nnxxsin1得aasin，故0a，即0limnnx；（2）考虑61sinsin010esin1limsinlim32xxxxxxxxxxxxxx故211limnxnnnxx61101esinlimsinlim22xxxnnnxxxxn. 例 2：设nnnnncbax1，其中0,0,0cba，求nnxlim解：设cbaM,,max，则MxMnn3，由13limnn，得nnxlimcbaM,,max。例 3：求21!limnnn解：由nnnnnnnln22ln11ln1ln2ln1ln1!ln1022，及0lnlimnnn，得21!limnnn1eelim0!ln12nnn例 4：求nkkkkknnn11111lim2n解：取xxnxf11，1ln1lnxnxxf，求导：故0xf，即xf单调增加，因此nnnkkknnnnn11111，由11lim1limnnnnnnnn，得111lim1nkkknn，同理由11111nnnnnnkkknn得111lim1nkkknn，从而nkkkkknnn11111lim2。例 5：（1）证明若daannn1lim，则dnannlim；若0na，且daannn1lim，则dannnlim；（2）求nnnn!lim. 解：（1）记1nnnaab，则dbnnlim；nanbbbnaaaaaaanannnnnn021001211，由dnbbbnn21lim得dna nnlim；记1nnnaab，则dbnnlim；nnnnnnnnbbbaaaaaaaaa210112010由dbbbnnn21lim得dannnlim；（2）记!nnann，e111lim1!1!limlim111nnnnnnnnnnnnnaa，elimlim!lim!lim1nnnnnnnnnnnaaannnn. 例 6：（1）求nnnnnnnnn1221212lim21解：由nininnnnnininnnnnn12112122121212，注意到函数xxf2在1,0上连续，10d2xx存在，及1012ln1d212limxnxninin，2ln1121lim12lim11nininnininnnnn，得nnnnnnnnn1221212lim212ln1。（2）设nnnnnxnn21，求nnxlim解：nnnnnnn...