. 编辑版第七节方向导数与梯度要求： 了解方向导数与梯度的概念，会计算方向导数与梯度方法。重点： 方向导数与梯度的计算。难点： 梯度的几何意义，方向导数与梯度的联系。作业 ：习题 8－7（60P） 2,4,6,8,10一． 方向导数问题提出 ：在许多实际问题中，常常需要知道函数),(yxfz在点( , )P x y 沿任意方向或某个方向的变化率．例如预报某地的风向和风力就必须知道气压在该处沿着哪个方向的变化率，在数学上就是多元函数在一点沿给定方向的方向导数问题．1．方向导数定义设函数),(yxfz在点( , )P x y的某一邻域内有定义，自P 点引有向直线L ， x 轴正向与直线 L 夹角为，在 L 上任取一点'(,)Pxx yy ，若'P 沿着 L 趋近于 P 时，即当0)()(22yx时，极限),(),(lim0yxfyyxxf存在则称此极限值为函数在点P 沿着 L 方向的方向导数．记作),(),(lim0yxfyyxxfLf．说明（1）规定逆时针方向旋转生成的角是正角0 ，顺时针方向旋转生成的角是负角0 ；2．方向导数的计算定理若函数),(yxfz在点( ,)P x y 可微分，那么函数),(yxfz在点( , )P x y沿任一方向 L 的方向导数都存在，且有计算公式sincosyfxfLf,cos ,sin,ffffexyxyr．其中为 x 轴到方向 L 的转角， er是与 L 同方向的单位向量．证明 ：因为函数),(yxfz在点( ,)P x y 可微分，所以有. 编辑版()fffxyoxy，上式两边同除以，得()()cossinffxfyoffoxyxy，则0limcossinffffLxy例 1．求函数yxez2 在点(1,0)P处沿从点(1,0)P到点)1,2(Q的方向的方向导数．解这里方向 L 即向量1, 1PQuuur的方向，因此x 轴到 L 方向的转角4,又因为yexz2 ，yxeyz22，所以在点)0,1(处，1xz，2yz，于是方向导数为22)4sin(2)4cos(1Lz．另一方法．例 2. 设由原点到点),(yx的向径为 r ，x 轴到 r 的转角为，x 轴到射线 L 的转角为，求Lr ，其中22yxrr)0(r．解因为cos22rxyxxxr，sin22ryyxyyr所以)cos(sinsincoscosLr，讨论：当时，1Lr,即沿着向径本身方向的方向导数为1,当2时，0Lr,即沿着与向径垂直的方向导数为零．3．三元函数的方向导数三元函数),,(zyxfu在空间一点( , , )P x y z 沿方向 L (设方向 L 的方向角为,,)的方向导数，同样定义为),,(),,(lim0zyxfzzyyxxfLf．. 编辑版其中222)()()(zyx，cos,cos,coszyx．若函数),,(zyxf在点( , , )P x y z 可微分，则在该点方向导数计算公式为coscoscos{,,} {cos,cos,cos}fffffffLxyzxy...
