3 夹半角知识目的目的一：掌握夹半角的常见辅助线和常见结论；目的二：掌握夹半角模型的构造及应用模块一 夹半角的模型知识导航 夹半角模型是初二全等几何另一种非常重要的模型，其证明过程值巧妙，图形变化之丰富，还能与诸多知识点（如角平分线定理，勾股定理）相结合，是诸多区、校大型考试压轴题中的常客。其辅助线的思路有两种：一是截长补短，二是旋转。学会截长补短能够解决基本问题，而理解旋转才干真正理解这种模型．夹半角模型分类：（1）90 度夹 45 度；（2）120 度夹 60 度；（3）2α 夹 α．题型一 90 度夹 45 度【例 1】 如图，在四边形 ABCD 中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，E 在BC 上，F 在 CD 上，且∠EAF=45°，求证：（1）BE+DF=EF（2）∠AEB=∠AEF．【练】在例 1 的条件下，若 E 在 CB 延长线上，F 在 DC 延长线上，其它条件不变，证明：（1）DF-BE=EF；（2）∠AEB+∠AEF=180°．【例 2】已知△ABC 为等腰三角形，∠ACB=90°，M、N 是 AB上的点，∠MCN=45°，求证：AM2+BN2=MN2．【 练 】 在 例 2 中 ， 若 M 在 BA 延 长 线 上 ， N 在 AB 上 ， 其 它 条 件 不 变 ， 试 探 究AM、BN、NM 之间的关系．【知识扩充】勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．夹边角和勾股定理结合会产生诸多有趣的结论，例如：【变式 1】如图，在四边形 ABCD 中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD．F 为CD 中点，点 E 在 BC 上，且∠EAF=45°，求证：点 E 为线段 BC 靠近 B 的三等分点．【变式 2】如图，在四边形 ABCD 中，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD．F 为CD 中点，点 E 在 BC 上，点 E 为线段 BC 靠近 B 的三等分点，求证：∠EAF=45°．【变式 3】已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，M 是 AD 的中点，在 CM 的右侧作∠MCN=45°交 BD 于点 N，求证：N 是线段 BD 靠近 D 的三等分点．【变式 4】已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，M 是 AD 的中点，N 是线段 BD 靠近 D 的三等分点，求证：∠MCN=45°．题型二 120 度夹 60 度【例 3】已知如图，△ABC 为等边三角形，∠BDC=120°，DB=DC，M、N 分别是 AB、AC上的动点，且∠MDN=60°，求证：MB+CN=MN．【练】如图，四边形 ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=BC...
