热传导方程及其定解问题的导出VIP免费

1 第一章 热传导方程 本章介绍最典型的抛物型方程—热传导方程,在研究热传导,扩散等物理现象时都会遇到这类方程. §1 热传导方程及其定解问题的导出 1.1 热传导方程的导出 物理模型 在三维空间中,考虑一均匀,各向同性的物体 ,假定它内部有热源,并且与周围介质有热交换,需要来研究物体内部温度的分布和变化. 以函数),,,(tzyxu表示物体 在位置 ),,(zyx及时刻t 的温度.物体内部由于各部分温度不同,产生热量的传递,它们遵循能量守恒定律. 能量守恒定律 物体内部的热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与由物体内部的热源所生成的热量的总和. 在物体 内任意截取一块D .现在时段],[21 tt上对D 使用能量守恒定律. 设),,,(tzyxuu 是温度(度),c 是比热(焦耳∕度·千克),  是密度(千克/米 3), q是热流密度(焦耳/秒·米 2),0f 是热源强度(焦耳/千克·秒). 注意到在dt 时段内通过D 的边界D上小块dS 进入区域 D 的热量为dSdtnq  (n是D的外法向),从而由能量守恒律,我们有 ,)||(2121120ttDttDDttttdxdydzfdtdsnqdtdxdydzuuc （1.1） 大家知道,热量流动的原因是因为在物体内部存在温差.依据传热学中的傅立叶实验定律,在一定条件下,热流向量与温度梯度成正比 ,ukq（梯度zuyuxugraduu,,） （1.2） 这里负号表明热量是由高温向低温流动,k 是物体的导热系数. 2 ,nuknuknq 从而(1.1)式可改写为 2121120)||(ttDttDDttttdxdydzfdtdSnukdtdxdydzuuc (1.3) 假设( , , , )u x y z t 在柱体(0,) 内具有连续微商222222,,,zuyuxutu.则应用散度定理(或高斯公式)立得: 22110()ttttDDudtcdxdydzdtk ufdxdydzt, 由于被积函数在(0,) 内连续,以及],[21 tt, D 的任意性,又由于物体均匀,各向同性, kc,,都是常数,立得: ,)(0fuktuc ,)(0cfucktu ,,,,,)(222222uzuyuxuzuzyuyxuxzuyuxuzyxu记为 令,,02cffcka  是三维 Laplace 算...