第三讲 向量及其线性相关性 教学目的与要求：理解n 维向量、向量的线性组合与线性表示、向量组线性相（无）关的概念；了解并会运用向量组线性相（无）关的有关性质及判定法；了解向量组的极大线性无关向量组和秩的概念，会求向量组的极大线性无关向量组及秩，了解向量组等价的概念，以及向量组的秩与矩阵的秩之关系，了解n 维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念，了解基变换与坐标变换公式，会求过渡矩阵． 重点：n 维向量、向量组的线性相关性、极大无关组与秩. §1 n 维向量空间 设 F 为数域（简单地说，一个包含0 和1 的数集F 若对四则运算（除数不为0）封闭，则F为数域，如有理数集、实数集和复数集都是数域，分别称为有理数域、实数域和复数域，以下所涉及的数域是实数域R 或复数域C）． 1. n维向量的定义：数域F上的n 个数组成的有序数组(或) Tnaaaα),,,(21L='21),,,(naaaL或称为一个 n 维（行或列）向量，其中称为向量),,,(21naaaαL=iaα 的第i 个分量或坐标； 1当F=R (或C ) 时，称为n 维实（或复）向量；数域F 上的n 维向量全体记为，称为数域F上的n 维向量空间（或n 维数组空间）． nF 注：（1）当n＝1、2、3 时，n 维向量即几何向量的坐标表示，从而几何意义明显； (2) 0＝(称为零向量，称为 T)0,,0,0LTnaaa),,,(21−−−=−Lα()Tnaaa...,,,21=α的负向量． (3) n 维行（或列）向量即1×n（或n×1）矩阵． （4）矩阵的每一行nmijaA*)(=)...(21iniiiaaa=α为一个 n 维行向量，称为矩阵 A 的行向量；而A 的每一列为一个 m 维列向量，称为矩阵 A 的列向量． (Tmjjjjaaa...21=β) 2．非负实数22221...naaa+++=α称为向量的模； Tnaaa),...,,(21),...,,(21naaa或模为1 的向量称为单位向量． 显然均为n 维单位向量，称为原始单位向量；TnTTeee)1,,0,0(,,)0,,1,0(,)0,,0,1(21LLLL===α ＝0⇔|α |＝0． 3．向量的线性运算（即矩阵的线性运算）设,),,,(21TnaaaαL=,),,,(21TnbbbβL=则 Tnnβαβαβαβα）＝（±±±±,,,2211L， ()Tnkakakaαk,,,21L=⋅． 4．运算律 设，nF∈γβα,,,,Flk∈ 则 (1) αββα+=+；（2）(βα +)＋γ ＝)(γβα++；（3） αα=+ 0；（4）0)(=−+αα； αklαlkαα)()()6(;1)5(==⋅；（7）αααlklk+=+ )(；（8）βαβαkkk+=+)(． §2 向量组的线性相关性 一、3R 中向量的共线与共面 设 3,,R∈γβα 1.两...
