第三讲 向量及其线性相关性 教学目的与要求:理解n 维向量、向量的线性组合与线性表示、向量组线性相(无)关的概念;了解并会运用向量组线性相(无)关的有关性质及判定法;了解向量组的极大线性无关向量组和秩的概念,会求向量组的极大线性无关向量组及秩,了解向量组等价的概念,以及向量组的秩与矩阵的秩之关系,了解n 维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念,了解基变换与坐标变换公式,会求过渡矩阵. 重点:n 维向量、向量组的线性相关性、极大无关组与秩. §1 n 维向量空间 设 F 为数域(简单地说,一个包含0 和1 的数集F 若对四则运算(除数不为0)封闭,则F为数域,如有理数集、实数集和复数集都是数域,分别称为有理数域、实数域和复数域,以下所涉及的数域是实数域R 或复数域C). 1. n维向量的定义:数域F上的n 个数组成的有序数组(或) Tnaaaα),,,(21L='21),,,(naaaL或称为一个 n 维(行或列)向量,其中称为向量),,,(21naaaαL=iaα 的第i 个分量或坐标; 1当F=R (或C ) 时,称为n 维实(或复)向量;数域F 上的n 维向量全体记为,称为数域F上的n 维向量空间(或n 维数组空间). nF 注:(1)当n=1、2、3 时,n 维向量即几何向量的坐标表示,从而几何意义明显; (2) 0=(称为零向量,称为 T)0,,0,0LTnaaa),,,(21−−−=−Lα()Tnaaa...,,,21=α的负向量. (3) n 维行(或列)向量即1×n(或n×1)矩阵. (4)矩阵的每一行nmijaA*)(=)...(21iniiiaaa=α为一个 n 维行向量,称为矩阵 A 的行向量;而A 的每一列为一个 m 维列向量,称为矩阵 A 的列向量. (Tmjjjjaaa...21=β) 2.非负实数22221...naaa+++=α称为向量的模; Tnaaa),...,,(21),...,,(21naaa或模为1 的向量称为单位向量. 显然均为n 维单位向量,称为原始单位向量;TnTTeee)1,,0,0(,,)0,,1,0(,)0,,0,1(21LLLL===α =0⇔|α |=0. 3.向量的线性运算(即矩阵的线性运算)设,),,,(21TnaaaαL=,),,,(21TnbbbβL=则 Tnnβαβαβαβα)=(±±±±,,,2211L, ()Tnkakakaαk,,,21L=⋅. 4.运算律 设,nF∈γβα,,,,Flk∈ 则 (1) αββα+=+;(2)(βα +)+γ =)(γβα++;(3) αα=+ 0;(4)0)(=−+αα; αklαlkαα)()()6(;1)5(==⋅;(7)αααlklk+=+ )(;(8)βαβαkkk+=+)(. §2 向量组的线性相关性 一、3R 中向量的共线与共面 设 3,,R∈γβα 1.两...