第26讲-数学：线性代数概率与数理统计(2010新版)-

六、二次型（一）二次型及其矩阵表示二次齐次函数称为二次型。其中 A 为对称阵。对称阵 A 就称为二次型 f 的矩阵，而 f 就称为对称阵 A 的二次型。规定二次型 f 的秩就是对称阵 A 的秩。合同矩阵（二）二次型的标准形只含平方项的二次型称为二次型的标准形。对于二次型，主要的问题是：寻求可逆的线性变换把二次型化为标准形，这就是使这也就是要寻求可逆阵 C ，使定理 对于对称阵 A ,必有正交阵 P，使其中但是，二次型的标准形不唯一，即与对称阵 A 合同的对角阵不唯一。当然，这些对角阵的秩都等于 R ( A ）。惯性定理给定二次型 f，它的不同标准形中系数取正值的个数（称为正惯性指数）保持不变。给定对称阵 A ，与 A 合同的一切对角阵中主对角线元素取正值的个数全相等。正定二次型（三）例题( A ) 0 ( B ) 1 ( C ) 2 ( D ) 4【 解 】 对 f 的矩阵施行初等变换：由 f 的秩为 2 知 R ( A ）= 2 ，故 a - 2 = 0 , a = 2 。因此应选（ C ）。故所用正交变换为第六节 概率与数理统计概率与数理统计是随机数学的两个分支。要求读者初步掌握处理随机现象的基本方法。一、随机事件与概率直观上说，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事情称为随机事件（简称事件） ; 概率是随机事件发生可能性大小的度量。记事件 A 的概率为 P ( A ）。把必定事件（记作 U ）与不可能事件（记作 V ）看作特别的随机事件。规定（一）随机事件之间的关系 1 ．包含 事件 B 包含事件 A 表示“当 A 发生时 B 必定发生”，记作 BA （或 A B ）。 2 ．相等 事件 A 与 B 相等表示“ A B 且 B A " ，记作 A = B 。 3 ．互不相容（或互斥） 事件 A 与 B 互不相容表示“ A 与 B 不可能同时发生”，记作 AB＝ V 。（二）随机事件之间的运算 1 ．和事件 事件 A 与 B 的和事件表示“ A 与 B 中至少有一个发生”，记作 A + B （或 AB ）。 2 ．积事件 事件 A 与 B 的积事件表示“ A 与 B 同时发生”，记作 AB（或 A B ）。 3 ．对立事件（或逆事件） 事件 A 的对立事件表示 “ A 不发生”，记作 。 4 ．差事件 事件 A 与 B 的差事件表示“ A 发生且 B 不发生”，记作 A - B （或 A）。（三）概率的计算公式1 ．求逆公式 P （） = 1 -P（ A ）。 2 ．加法公式 P ( A + B ) ＝P（ A ) ＋P（ B ）- P（AB）。当 A 与 B 互不相容时， P ( A + B ) = P ( A ) + P ( B ）。3 . P ( B - A ) ＝P（ B ）- P(AB）。当 A B ，那么 P ( A ) P ( B ) ，且 P ( B - A ) = P ( B ）- P ( A ）。 4 ．乘法公式 P（AB）＝P（ AB）P（ B ) = P （B A ）P（ A ）。当 A 与 B 相互独立时， P （AB） = P ( A ) P ( B ）。条件概率与相互独立性