第十四章 线性响应理论 § 14.1 线性响应函数 对系统加上外场，或更一般地说，对系统施以某种扰动的话，则系统的一些性质，如热力学量，会产生相应的变化，这就叫响应 (response). 如果外场(扰动)比较小，则热力学量的变化与外场(扰动)成正比，为线性关系.这就是线性响应.其比例系数(一般是个函数)称为线性响应函数(linear response fu nction).它可以用格林函数来表达. 推导线性响应公式有两个前提：一是扰动较小，这儿较小的涵义是:由扰动引起的哈密顿可以作为微扰来处理.二是响应能够及时追随扰动.为了做到这一点，需要假定绝热条件，令扰动是缓慢加上去的.在 t= 时，系统处于平衡态，或叫作纯态.哈密顿量为 H. 扰动一般是由外场引起的.现在考虑对系统加一外场 F，作为一般情况，设外场为矢量.设初始条件为 ( ,)0t F x (14.1.1a) 如果外场本身并不含时间，为了做到这一点，可令 0( , )e( )ttF xF x (14.1.1b) 即加上一个因子0et 使之符合条件(14.1.1a). 设扰动引起的哈密顿量为 311d( )( , )d( )( , )HtCFt x C xF xxxx (14.1.2) 其中C 应是系统本身的某一个物理量.由于扰动，系统内就有一个力学量 D 受到变化，变化的量为D.现在来推导这个变化量的表达式.注意，由于这儿的 C 和D是系统本身的物理量，因此都是算符.外场 F(t)不是算符.但表现了 H1 随时间的变化.举例来说，外加电磁场后引起的哈密顿量为 1d( , )d( , )Htent x j A xxx (14.1.3) 其中A 与为外场的矢势与标势， j 与 n 分别为系统内的电流密度与粒子数密度算符.F、C 和D 这三个量也可以都不是矢量，以下的推导过程不变. 假设扰动之后，总的哈密顿量为 T1d( )( , )HHHHt x C xF x (14.1.4) 未有扰动时，系统处于平衡态，统计算符是 0. 00eHZ (14.1.5) 它与H 是对易的.此时物理量D 在系综内的统计平均是 1000Tr[]||e||nEnnnnnnZ DDD (14.1.6) 加上扰动后，系统的统计算符应是 e( )THtZ (14.1.7) 由于(14.1.1)式，有 0()t (14.1.8) 物理量D 的统计平均是 ( )1Tr[ ( )]( ) |( )|( )e( ) ||( )nEtnnnnnnttttZtt DDD (14.1.9) 我们要计算的是扰动引起的D 的变化量 0Tr[ (...
