第四章 多变量反馈系统的性能和鲁棒性 Performance and Robustness of Multivariable Feedback Systems 本章内容： 主增益principal gains (奇异值singular values) 系统性能的评估assessing performance 特征轨迹characteristic loci 算子范数operator norms 利用算子范数说明性能 不确定的表示representations of uncertainty 稳定性鲁棒stability robustness 性能鲁棒performance robustness 4.1 Introduction 使用反馈的目的：减少不确定性的影响； 镇定不稳定系统。 不确定性：环境的扰动和噪声(disturbance and noise)； 系统本身的行为变化的不可预知(unpredictable ways)。 系统的性能：输出跟踪参考输入的能力 系统的鲁棒性：在外部扰动下系统回复原状的能力 4.2 主增益Principal gains (singular values) 在 SISO 系统中：稳定裕度(stability margins)和暂态响应(transient response)可以由开环频率特性确定(增益特性gain characteristic)。 MIMO 系统：增益不唯一，即 ( ) ( )G s u s依赖于( )u s 的方向(解释)。因此，研究的思路：从SISO 系统单一的增益到MIMO 系统限制增益的范围，即使用矩阵范数限制比值： 1( ) ( )( ) ( ) , ( )( )Gs y sG s u su sy s 定义从向量的范数到诱导的矩阵范数 Hxx x ――欧氏范数(Euclidean vector norm) 0( )supxGxG sx ――诱导的矩阵范数 sG ――Hilbert 范数或谱范数(spectral norm) G 的奇异值(singular values): HG G或HGG的正特征值的平方根 ( )G s 的主增益(principal gains): ()G j 的奇异值 一般假设：120m 称, 为最大，最小主增益， ( ())()sG jG j 注意( ())G j与频率相关，与2G，G 不同。 奇异值分解(the singular value decomposition---SVD): , , , HHHm lGY UGY YIU UI orthogonal matrix 22, HHHHGGYYG GUU 12diag{,,,}m 1, , HHUYHGHHGHGG, †GH †G 表示G 的伪逆(pseudo-inverse)，也直接表示为1G 。 rank( )min( , )Gm l(前面). rank( )rank( )Gr , 1000r 1()Gj的谱范数：11()( )sGj 因此， 1() ()1()( )Gjy jy...
