经济数学(极限与连续习题及答案)VIP免费

1 第二章 函数的极限与连续 习题 2 － 1 1.写出下面数列的前5 项，并观察当n— >∞时，哪些数列有极限，极限为多少? 哪些数列没有极限.        211(1) 1 (2) 21(3) (4) ( 1)11( 1)(5) sin (6) 2nnnnnnnnnnxxnnxxnnxxn  解 （ 1）3231 ,1615 ,87 ,43 ,21 有极限 , 极限为 1. (2) 524 ,415 ,38 ,23 ,0 没有极限. (3) 64 ,53 ,42 ,31 0, 有极限 , 极限为 1. (4) － 1, 2, － 3, 4, － 5 没有极限. (5) 5sin ,4sin ,3sin ,2sin ,sin, 有极限 , 极限为 0 . (6) 0, 1, 0 , 1, 0 没有极限 . 2. 用极限的定义证明： (1) 若 k>0，则 1lim0knn n212(2) lim 313nn  解 (1) 因为对任给的ε > 0，要使不等式 110(0)kkknn 11 ( ).kn即便可 所以对任给的ε > 0, 取正整数 N = 11[( ) ] 1k , 则当n >N 时 , 就 恒有 10kn 故由数列极限的定义知, 1lim0knn. (2) 因为对任给的ε > 0, 不妨设10ε< 3， 要使不等式 2121ε31393nnn 2 1 1 (3) 9 εn 即便可. 所以对任给的ε > 0, 取正整数N = 1 1[ (3)] 19 ε , 则当n > N 时 , 就 恒有 212313nn 故由数列极限的定义知, 3213n12nlimn. 3. 设 120.9,0.99,,0.999,lim.nnnnxxxx求如果要使xn 与其极限之差的绝对值小于 0.0001 , 问 n应满足什么条件? 解 因为0.999,lim1, 0.0001,nnnnxx由则取要使 110.000110000nx  1 10.999910000nx  只要便可. 所以n > 4 . 4. 设数列｛x n｝有界，且lim0, lim0.nnnnnyx y证明 证 因为数列｛ xn｝ 有界, 所以存在正整数M > 0, 使得 nx < M,又因为0limnny, 则对任给的M> 0, 存在正整数N , 使得当n > N 时 , 就恒有 0nyM 所以对任给的ε > 0, 存在正整数N, 使得当n >N 时 , 就恒有 nnnnx yxyMM 故由数列极限的定义知, .0lim nnnyx 5. 设数列｛x n｝收敛, 求证数列｛x n｝必定有界. 解 由数列｛...