1 / 4 第 11 章(无穷级数 )之内容方法无穷级数也是高等数学的重要内容，它在自然科学及工程技术中有着重要而广泛的应用.本章先介绍常数项级数及其收敛问题，然后讨论幂级数及其收敛半径、收敛区间的求法最后讨论函数的幂级数的展开问题. 本章的重点是：常数项级数的基本概念，正项级数的审敛准则；幂级数的审敛准则；泰勒公式、 泰勒级数及泰勒展开式. 难点是：正项级数的审敛准则；泰勒展开式 . 11-1 常数项级数的基本概念及其主要性质1．基本概念级数1nna；项1a , 2a 通项：na ；常数项级数：na 为常数部分和： S n =nnna1; 部分和序列S1 ,S 2 , ⋯,S n , ⋯: 级数收敛：部分和序列存在有穷极限1,nnS Sa. 级数发散：部分和序列不存在有穷极限. 主要性质 : （ 1）级数收敛的必要条件是：其通项趋于0. （ 2）如果级数收敛且其和为S ，则各项同乘以常数c 所得级数也收敛且其和为cS . （ 3）设有两个收敛级数其部分和分别为S 和，则将它们逐项相加或相减所得的级数也收敛，且其和为S. （ 4）收敛级数不改变各项顺序而插入括号后所成的级数仍然收敛且其和不变. （ 5）一个级数添入或删除有限项并不影响其敛散性. 11-2 正项级数及其审敛准则基本定理 : 正项级数收敛的充分必要条件是其部分和序列上有界. 等比级数：1naq( a0) 当q 1 收敛，当 q 1 时发散 . p 级数：11npn当 p1 时发散 , 当 p>1 时收敛 . 特别地，调和级数11nn发散 . 第一比较准则：有两个正项级数1nna与1nnb，2 / 4 而且nanb ( n=1,2,) . 若1nnb收敛，则1nna收敛；若1nna发散，则1nnb也发散 . 第二比较准则：设有两个正项级数na与nb，如果nnnbalim（0〈) ，则这两个级数同时收敛，或者同时发散. 达朗贝尔准则 (检比法）：设有正项级数na. 如果nnaan1lim=，那么，当1时级数收敛；当1，时，级数发散；当1时不能判定敛散性. 11-3 任意项级数的敛散性交错级数：各项正负相间的级数. 莱布尼兹准则：设有交错级数na. 如果(1)(1)各项的绝对值单调减；(2)(2)0limnna. 则交错级数必收敛. 绝对收敛级数：各项取绝对值后得到的正项级数收敛的级数. 条件收敛级数：收敛但不绝对收敛的级数. 绝对收敛准则：绝对收敛级数必收敛. 11-4 幂级数及其性质函数项级数：各项是x 的函数的级数 . 幂级数：0()nnncxa(,nca 是常数 ). 和函数（和） ：部分和所成函数序列的极限函数. 幂函数的审敛准则：...
