轨迹问题与对数螺线VIP专享VIP免费

轨迹问题与对数螺线 一 轨迹问题 〈 1〉 问题的提出 作为匀变速直线运动与匀速圆周运动的共同推广，考虑下面的问题： 给自由粒子施加一个力，并保持力的大小及其与粒子速度的夹角不变，则粒子将沿着怎样的轨迹运动？ 〈 2〉 分析与解答 设：粒子的质量为，初速度为0V；施加的力为F，与粒子速度V的夹角为α（即：将V逆时针旋转后与F同向） ，0= α<2π。 显然，α=0或 π时做匀变速直线运动，α=π/2或 3π/2时做匀速圆周运动；而其它情况下，粒子将沿着一类螺旋线顺时针或逆时针运动。本文主要求解及讨论此螺线。 求螺线方程似乎该用极坐标系，然而行不通，因为只有在确定方程之后才能确定合适的极点。 所以首先建立自然坐标系（ nˆ ， ˆ ） 如图示（  为0V到V的角）： 根据牛顿第二定律： dtVdmF  又 nFFFˆsinˆcos  ˆVV  dtdVdtdVdtVdˆˆ  ndtdVdtdVˆˆ   （②式为本题之关键） 再建立直角坐标系，使iˆ 与0V同向，原点在起点 则 由（I）、（ II） 解得： （详见附1） 其中 )1cosln(tan0tmVF  二 方程的化简 为化简（*）式，宜作如下代换： 2tantan0 ， cos2200FmVS ， 0002VSt  ； 020220cos)tan4(cosSxFmVxx， cossin)tan4(costan0220SyFmVyy。 于是，（ *）式化为： 其中 200)1ln(tantt 0S 与0t 的物理意义是显然的，分别代表粒子在cosF作用下，速率由0 增加到0V 所发生的位移和所用时间。 现在，令 0、0cot00 coseS，容易看出， 粒子轨迹方程的极坐标形式为： 00 cot)(00 coseS ⑤ 这是一条对数螺线，形状如下图示： 三 纵使变化依然故我 对数螺线又称等角螺线。若一条曲线在每个点 P 的切向量都与某定点 O 至此点 P 所成的向量 夹成一定角，且定角不是直角，则此曲线称为一条等角螺线，O 点称为它的极点。 对于等角螺线的探讨，以伯努利（J. Bernoulli, 1654～ 1705 年）的成果最为丰硕。他发现将等角螺线作某些变换时，所得的曲线仍是全等的等角螺线。这些变换包括：求等角螺线的垂足曲线 ；求等角螺线的渐屈线；...