1 / 8 曲线积分与曲面积分在物理上的运用高等数学是物理学研究和发展不可缺少的理论思维工具，它具有高度的抽象性，结论的精确性和广泛的应用性。数学知识对于物理学科来说，决不仅仅是一种数量分析和运算工具， 更重要的是物理概念的定义工具和物理定理、原理的推导工具；另外，运用数学方法研究物理问题本身就是一种重要的抽象思维。因此，数学也是研究物理问题进行科学抽象和思维推理的工具。在物理学的发展道路中，数学起到的作用是具体的。 一个理论有没有生命力的基本条件就是数学表述是否正确完善，是否和物理定律界定的条件配合得很好，或者和客观实验符合得很好。当这种符合度到达一定程度之后，物理理论就会反过来赋予数学描述以生命力。数学对于物理的影响是很深远的， 但是也不能说明数学和物理的关系有很分明的先后关系。 有的数学问题是从物理现象中抽象出来的，而有的数学表述方式也是因为有了物理理论才有了意义。 如教材中曲线与曲面积分的定义均由物理学中的相关问题提出， 而物理学中的某些问题运用曲线积分与曲面积分得到了简化。一 、弧长的曲线积分的概念与性质由物理上求曲线形构件的质量问题提出曲线形构件的质量在设计曲线形构件时，为了合理利用材料，应该根据构件各部分受力情况，把构件上各点处的粗细程度设计的不完全一样。因此，可以认为这构件的线密度 （单位长度的质量） 是变量。 假设这构件所处的位置在xOy面内的一段曲线弧L 上，它的端点是 A、B，在 L 上任一点（ x，y）处，它的线密度为（ ， ）。现在要计算这构件的质量M（如图）。现在这构件上各点处的线密度是变量，可以用L 上的点,把L 分成 n 小段，取其中一小弧来分析。在线密度连续变化的前提下，只要这小段很短， 就可以直接用这一小段上任意一点（，）处的线密度代替这小段上其他各点处的线密度，从而得到这小构件的质量的近似值为（ ，），其中表示弧的长度，于是整个曲线形构件的质量iiinisM),(12 / 8 用 表示 n 个小弧段的最大长度，为了计算m的精确值，取上式右端之和当0 时的极限，从而得到（ ，）从而得到曲线积分的定义：设 L 为 xoy 面内的一条光滑曲线弧， 函数 f(x,y)在 L 上有界。在 L 上任意插入点列,把 L 分成 n 小段。设第 i 个小段弧长的长度为，又（ ， ）为第 i 个小段上任意取定的一点，作乘积 （ ， ）（i=1 ，2 n），并求和 （ ， ），如果当各小弧段的长度最大...
