1 / 10 第二章曲面论第十三节曲面上的高斯映射高斯曲率的几何意义曲面的第三基本形式Gauss 映射曲面的 Gauss 映射（或称为球面表示）是曲面上的点到单位球面 S 上点的映射，具体叙述如下。定义在曲面:( , )rr u v , 的的任一点( , )P u v 处, 作出单位法向量( , )n u v ，并平行移动。( , )n u v ，使它的始点与原点O重合， 那么 , n 的终点就落到以O 为球心的单位球面S 上, 从而得到一点P , 我们称从到 S 的这一映射: PP为曲面的高斯映射。2 / 10 是把整个曲面映射到单位球面上的，曲面在球面上的象是S 上的一个点集。若已知曲面的方程为( , )rr u v ，那么 , 在高斯映射下的球面象的方程为( , )n u v ，即2||||uvuvuvrrrrnrrEGF。上式即为高斯映射的向量表示式。例1 、求球面( sincos ,sinsin,cos )raaa的高斯映射下的球面象。解(,,)(sincos ,sinsin,cos)xyznaa a。例2、 求正螺面( cos , sin ,)ruv uv av的高斯映射下的球面象。3 / 10 解(cos ,sin ,0)urvv，(sin ,cos , )vruv uv a ，( sin ,cos , )uvrravav u ，221(sin ,cos , )||||uvuvrrnavav urrua。曲面与球面象的关系曲面 的高斯映射不一定是上的点到单位球面S上的点的一一映射。例如 设是一柱面，其方程是0( )ra svb ，( )sra s ，0vrb ，的球面象的方程为00( )||||||( )||svsvrra sbnrra sb，这是 单位球面S上一条曲线。4 / 10 对于柱面上任意两点111 0( )ra sv b ，212 0( )ra sv b ，，它们的球面象都是点10110()||()||a sbna sb所以曲面的高斯映射不一定是一一映射。例如 若曲面是一平面 , 其球面象是一个点。若曲面是一可展曲面，可证明它的球面象是一条曲线。定理如果曲面是一般的可展曲面，则的球面象是一条曲线。证明若 是一可展曲面，它或者为柱面，或者为锥面，或者为切线曲面，仅有这三种情况, 下面分别讨论。定理 2 如果曲面没有抛物点，则它上面每一点P 与其球面象P是一一对应的。5 / 10 证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是一一对应的。证 设给出的曲面:( , ),( , )rr u vu vD 上的点( , )r u v 与 ( , )u vD 内的点一一对应，其球面像上的点为( , )n u v , 由于()uvuvnnrr ,22LNMKEGF，所以22|||||| ||||||uvuvLNMnnrrEGF当曲面上没有抛物点时，20LNM, 则0uvnn，说明球面像上的...
