1 近 年 北 大 清 华 自 主招生试题汇编 2010 北大自主招生（三校联招） 1．（仅文科做）02，求证：sintan．（ 25 分） 2．AB 为边长为1 的正五边形边上的点．证明：AB 最长为512．（ 25 分） 3．AB 为21yx上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（ 25 分） 4． 向量O A 与O B 已知夹角，1OA ，2OB ，(1)OPt OA， OQtOB， 01t≤≤． PQ在0t 时取得最小值，问当0105t时，夹角的取值范围．（ 25 分） 5．（仅理科做）存不存在02x，使得sin, cos, tan, cotxxxx 为等差数列．（ 25 分） 2009 北大自主招生数学试题 1 圆内接四边形ABCD， AB=1， BC=2， CD=3， DA=4。求圆半径。 2 已知一无穷等差数列中有3 项：13， 25， 41。求证：2009 为数列中一项。 3 是否存在实数x 使 tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？ 4 已知对任意x 均有acosx+bcos2x>=-1 恒成立，求a+b 的最大值 5 某次考试共有333 名学生做对了1000 道题。做对3 道及以下为不及格，6 道及以上为优秀。问不及格和优秀的人数哪个多？ 2008 北大自主招生数学试题 1 求证：边长为1 的正五边形对角线长为512 2 已知六边形AC1BA1CB1中 AC1=AB1,BC1=BA1,CA1=CB1,∠ A+∠ B+∠ C=∠ A1+∠ B1+∠ C1 求证△ ABC 面积是六边形AC1BA1CB1 的一半。 2 3 已知123123122331122331123123123123m in(,,)m in(,,)m ax (,,)m ax (,,)aaabbba aa aa ab bb bb baaab bbaaab bb求 证 ： 4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9 支 南方球队总得分是北方球队的9 倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得1 分 败得0 分） 5（理科）O-XYZ 坐标系内 xoy 平面系内202yx绕 y 轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)设置一光源 xoy 平面内有一以原点为圆心的圆C 被光照到的长度为2π 求 C上未被照到的长度 2009 年清华大学自主招生数学试题 设5151的整数部分为a ，小数部分为b 1 求,a b ； 2 求222abab； 3 求2limnnbbb 2． 1,x y 为实数，且1xy，求证：对于任意正整数n ，222112nnnxy 2, ,a b c 为正实数，求证：3abcxyz，其中,,x y z 为, ,a b c 的一种排列 3...
