2021 高中数学竞赛培训教材2 011 高中数学竞赛培训教材编者:全国特级 教师(一)集合与容斥原理集合是一种根本数学语言、一种根本数学工具.它不仅是高中数学的第一课,而且是整个数学的基 础.对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上,而要随着数学学习的进程而不断深 化,自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词,主动使用集合工具来表示各种数量关系.如用 集合表示空间的线面及其关系,表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要 条件,描述排列组合,用集合的性质进行组合计数等.一、学习集合要抓住元素这个关键例 1.设 4={X | X= a2+b2, a. b^Z) , XI, X2GA,求证：XIX 2 e A.分析：A 中的元素是自然数,即由两个整数 a、b 的平方和构成的自然数,亦即从 0、1、4、9、 16、25……,n2,……中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数,此题要证实的是：两个这 样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式,即(a2+b2)(c2"2) = [M)2+(N) 2, M, NGZ证实：设 X 1 =a2+b2,X2=c2"2, a、b、c、d£Z.那么 XlX2=(a2+b2) ( c 2-d2)= a2c2+b 2 d 2+b2 c 2+a2 d 2=a2 c 2 + 2 ac • bd+ b 2 d2+ b 2c 2 -2bc • ad+a2d 2 = ( a c +bd) 2+ ( b c-ad) 2又 a、b、c、d£Z,故 ac+bd、be—a d^Z,从而 X 1X2 £ A练习：L 设两个集合 S = {x | x= 1 2 m+ 8 n, m ? nZ} , T= {x I x = 2 0p+ 16q, p, q£Z}.求证：S = T.(2)乂= { a I a = x2—y2, x, y £Z}.求证,(1 ) 一切奇数属于 M；(3)4k-2 (k GZ)不属于 M;1 / 45 第 1 页(共 45 页)2021 高中数学竞赛培训教材(4)M 中任意两个数的积仍属于 M.3.己知函数 f ( x ) =x2+a x+b , a, b£R,且人=卜| x=f (x)} , B= {x| x=f[f(x) ] }.(1 )求证：A£ B；(2)假设人={ —L 3}时,求集合 B.二、集合中待定元素确实定例 2.己知集合乂= {X, XY, lg (xy)}, S = {0, | X | , Y },且机=$,贝卜%+1/Y)+(X2+1 / Y2) + ……+ (X20 0 2+1/Y2002)的值等于().分析：解题的关键在于求出 X 和 Y 的值,而 X 和丫分别是集合 M 与 S 中的元素.这一类根据集合的 关系反过来确定集合元素的问题,要求我们要对集合元素的根本性质即确定性、异性、无序性及集合之 间的根本关系(子、全、补、交、异、...
