1 / 13 第 5 章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现0kkka的情况，这时消去法无法进行；即时主元素0kkka，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散， 最后也使得计算不准确。因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和计算的准确性。当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。计算时一般选择列主元消去法。2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b 有何不同？ A 要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A 分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。用 LU 分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。A 需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，⋯，n-1）不为零。3、楚列斯基分解与LU 分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU 分解的一种，当限定下三角矩阵L 的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长，切对角元素恒为正数，因此， 是一个稳定的算法。5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。向量范数定义见p53，符合 3 个运算法则。正定性齐次性三角不等式设 x 为向量，则三种常用的向量范数为：（第 3 章 p53,第 5 章 p165）11||||||niixx12221||||()niixx1||||max ||iinxx7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = (ai j )的三种范数 || A||1，|| A||2，|| 2 / 13 A||∞，|| A||1 与 || A|| 2 哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162，需要满足四个条件。正定条件齐次条件三角不等式相容条件矩阵的算子范数有1||A ||2||||A||A ||从定义可知，1||A || 更容易计算。8、什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？答：设 A 为非奇异阵，称数1(A)AAvvvcond（1,2,v）为矩阵 A 的条件数当(A)1cond时，方程是病态的。9、满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？（1）矩阵行列式的值很小。（2）矩阵的范数小。（3）矩阵的范数大。（4）矩阵的条件数小。（5）矩阵的元素绝对值小。接近奇异阵...
