极值点偏移的判定方法和运用策略一、判定方法 1、极值点偏移的定义对于函数)(xfy在区间),(ba内只有一个极值点0x ,方程0)(xf的解分别为21xx、,且bxxa21,(1)若0212xxx,则称函数)( xfy在区间),(21 xx上极值点0x 偏移;(2) 若0212xxx,则函数)(xfy在区间),(21 xx上极值点0x 左偏,简称极值点0x 左偏;(3)若0212xxx,则函数)(xfy在区间),(21 xx上极值点0x 右偏,简称极值点0x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理判定定理 1 对于可导函数)(xfy,在区间),(ba上只有一个极大 (小)值点0x ,方 程0)(xf的 解 分 别 为21xx 、, 且bxxa21,( 1 ) 若0)2('21xxf, 则021)(2xxx,即函数)( xfy在区间),(21 xx上极大(小)值点0x 右(左)偏; (2)0若0)2('21xxf,则021)(2xxx,即函数)(xfy在区间),(21 xx上极大(小)值点0x 左(右)偏。证明:(1)因为可导函数)(xfy,在区间),(ba上只有一个极大(小)值点0x ,则函数)(xfy的单调递增(减)区间为),(0xa,单调递减(增)区间为),(0 bx,又bxxa21, 有),(221baxx由 于0)2('21xxf, 故),(2021xaxx, 所 以021)(2xxx,即函数极大(小)值点0x 右(左)偏。结论( 2)证明略。判定定理 2 对于可导函数)(xfy,在区间),(ba上只有一个极大 (小)值点0x ,方程0)(xf的解分别为21xx 、,且bxxa21,( 1)若)2()(201xxfxf,则021)(2xxx,即函数)(xfy在区间),(21 xx上极大(小)值点0x 右(左)偏;(2)若)2()(201xxfxf,则021)(2xxx,即函数)(xfy在区间),(21 xx上极大(小)值点0x 左(右)偏。证明:(1)因为对于可导函数)(xfy, 在区间),(ba上只有一个极大(小)值点0x ,则函数)(xfy的单调递增(减)区间为),(0xa,单调递减(增)区间为),(0 bx,又bxxa21,有01xx,且0202xxx,又)2()(201xxfxf,故2012)(xxx,所以021)(2xxx,即函数极大(小)值点0x 右(左)偏 .结论( 2)证明略。应用举例例 1 : 函 数,34)(34xxxf与 直 线)31(aay交 于),(),(21axBaxA、, 证 明 :221xx。解法 1: (运用定义证明) :设21xx,由题意得,343141axx,343242axx两式相减整理得,)(34222122212121xxxxxxxx设)1(12 txxt,故,2134341)1(3422221tttttxx即221xx。由于仅用 a 难表示21xx,故两式相减,构造用12xxt表示21xx的函数求解。解法 2: (运用判定定理1 证明):设21xx,2344)('xxxf,函数3434)(xxxf的单调递减区间为)1,(,单调递增区间为...