时间---------月---------日星期-----------------课题§3.1 微分中值定理教学目的理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，理解柯西中值定理。教学重点罗尔定理、拉格朗日定理的应用。教学难点罗尔定理、拉格朗日定理的应用。课型基础课备课组教法选择讲授教学过程教法运用及板书要点一、罗尔定理1.罗尔定理几何意义：对于在上每一点都有不垂直于轴的切线，且两端点的连线与轴平行的不间断的曲线来说，最少存在一点 C，使得其切线平行于轴。CAB从图中能够看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理费马引理设函数在点的某邻域内有定义并且在处可导如果对任意有(或)那么证明：不妨设时，（若，能够类似地此表 2 学时填写一份，“教学过程”局限性时可续页证明）.于是对于,有,从而当时,;而当时,;根据函数在处可导及极限的保号性的得，因此,证毕.定义导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).罗尔定理如果函数满足：（1）在闭区间上持续（2）在开区间内可导（3）在区间端点处的函数值相等，即那么在内最少在一点使得函数在该点的导数等于零，即证明：由于在上持续，因此必有最大值 M 和最小值，于是有两种可能的情形：（1），此时在上必然取相似的数值 M，即由此得因此，任取，有（2），由于，因此 M 和最少与一种不等于在区间端点处的函数值.不妨设(若,可类似证明),则必然在有一点 使.因此任取有,从而由费马引理有.证毕【例 1】验证罗尔定理对在区间上的对的性解显然在上持续，在上可导，且,又,取,有.阐明：1 若罗尔定理的三个条件中有一种不满足,其结论可能不成立;2 使得定理成立的 可能多于一种，也可能只有一种.【例 2】证明方程有且仅有一种不大于 1 的正实根.证明：设,则在上持续，且由介值定理存在使,即为方程的不大于1 的正实根.设另有使由于在之间满足罗尔定理的条件,因此最少存在一种（在之间）使得.但,矛盾,所觉得方程的唯一实根.二、拉格朗日（Lagrange）中值定理在罗尔定理中，第三个条件为(iii)，然而对普通的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保存前两个条件，这样，结论对应地要变化，这就是拉格朗日中值定理：定理 2：若函数满足：(i)在上持续；(ii)在上可导；则在内最少存在一点-2-112-0.75-0.5-0.250.250.50.75，使得。即若此时，尚有，。可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊状况，因而用罗尔中值定...
