1．已知如图，P∉平面 ABC，PA=PB=PC，∠APB=∠APC=60°，∠BPC=90 °求证：平面ABC⊥平面 PBC【答案】【解析】要证明面面垂直，只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。显然 BC 中点 D，证明 AD 垂直平 PBC 即可证明： 取 BC 中点 D 连结 AD、PD PA=PB；∠APB=60° ∴ΔPAB 为正三角形 同理 ΔPAC 为正三角形 设 PA=a 在 RTΔBPC 中，PB=PC=a BC=√2a ∴PD=√22 a 在 ΔABC 中 AD=√ AB2−BD2 =√22 a AD2+PD2=(√22 a)2+(√22 a)2 =a2=AP2∴ΔAPD 为直角三角形即 AD⊥DP又 AD⊥BC∴AD⊥平面 PBC∴平面 ABC⊥平面 PBC2．如图（1）在直角梯形 ABCD 中，AB//CD，ABAD 且 AB=AD=CD=1，现以 AD 为一边向梯形外作正方形 ADEF，然后沿 AD 将正方形翻拆，使平面 ADEF 与平面 ABCD 互相垂直如图（2）。ABCDEF图 2ABEC图 1FDABCDA1B1C1D1EF（1）求证平面 BDE平面 BEC（2）求直线 BD 与平面 BEF 所成角的正弦值。【答案】⑴证见解析 ⑵ 【解析】（1）由折前折后线面的位置关系得平面，因此，又在中，，，三边满足勾股定理，。由线面垂直的鉴定定理即证得结论。（2）由于只需求出点到平面的距离也是点到平面的距离，易证出，平面，由面面垂直的鉴定定理得平面平面，中边上的高就是点到平面的距离。根据线面角的定义可求直线 BD 与平面 BEF 所成角的正弦值。3．（本小题满分 14 分）如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E、F 为棱 AD、AB 的中点．（1）求证：EF∥平面 CB1D1；（2）求证：平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1．【答案】（Ⅰ）略（Ⅱ）略【解析】（1）证明：连结 BD.在长方体中，对角线. ……………2 分又 E、F 为棱 AD、AB 的中点， ∴. ∴. ……………4 分又 B1D1平面，平面，∴EF∥平面 CB1D1. ……………7 分（2） 在长方体中，AA1⊥平面 A1B1C1D1，而 B1D1平面 A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1.…9分又在正方形 A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∴ B1D1⊥平面 CAA1C1. 又 B1D1平面 CB1D1，∴平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1．……14 分4 ． 如 图 ， 四 棱 锥 P−ABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 平 行 四 边 形 ，AB=2 AD=2 ，BD=√3 ，PD ⊥底面ABCD .(1)证明：平面PBC⊥¿ ¿平面PBD ； (2)若二面角P−BC−D 为π6 ，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值。【答案】（1）略（2）sinθ=|⃗AP⋅⃗n||⃗AP||⃗n|=...
