第三节 函数的奇偶性与周期性 函数的奇偶性与周期性 结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义． 知识点一 函数的奇偶性 奇偶性 定 义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y 轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 易误提醒 1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0 使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)． 3．分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的． 必记结论 1．函数奇偶性的几个重要结论： (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f(x)＝0，x∈ D，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．有关对称性的结论： (1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于 x＝a 对称． 若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称． (2)若 f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于 x＝a 对称． 若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称． [自测练习] 1．函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 2．(2015·石家庄一模)设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则 f(－2)＝( ) A．－12 B.12 C．2 D．－2 3．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________. 知识点二 函数的周期性 1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 f(x)的最小正周期． 必记结论 定义式f(x＋T)＝f(x)对定义域内的x 是恒成立的．若f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数f(x)的周期为T＝|a－b|. ...
