2020年高考数学导数题VIP免费

2020 年高考数学导数题 卷一理科 21.(12 分) 已知函数f(x)=ex+ax2-x. (1)当a=1 时,讨论f(x)的单调性; (2)当x≥0 时,f(x)≥12x3+1,求a 的取值范围. 21.解 (1)当a=1 时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1. 故当x∈(-∞ ,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞ )时,f'(x)>0. 所以f(x)在(-∞ ,0)单调递减,在(0,+∞ )单调递增. (2)f(x)≥12x3+1 等价于(12 ᵆ3-ᵄᵆ2 + ᵆ + 1)e-x≤1. 设函数g(x)=(12 ᵆ3-ᵄᵆ2 + ᵆ + 1)e-x(x≥0), 则g'(x)=- 12x3-ax2+x+1-32x2+2ax-1 e-x =-12x[x2-(2a+3)x+4a+2]e-x =-12x(x-2a-1)(x-2)e-x. ①若2a+1≤0,即a≤-12,则当x∈(0,2)时,g'(x)>0. 所以g(x)在(0,2)单调递增,而g(0)=1, 故当x∈(0,2)时,g(x)>1,不合题意. ②若0<2a+1<2,即-120. 所以g(x)在(0,2a+1),(2,+∞ )单调递减,在(2a+1,2)单调递增.由于g(0)=1,所以g(x)≤1 当且仅当g(2)=(7-4a)e-2≤1,即a≥7-e24 . 所以当7-e24 ≤a<12时,g(x)≤1. ③若2a+1≥2,即a≥12,则g(x)≤12x3+x+1 e-x. 由于0∈7-e24 , 12 ,故由②可得(12 ᵆ3 + ᵆ + 1)e-x≤1. 故当a≥12时,g(x)≤1. 综上,a 的取值范围是[7-e24 , + ∞ ). 卷一文科 15.曲线 y=ln x+x+1 的一条切线的斜率为 2,则该切线的方程为 . 15.y=2x 设切点坐标为(x0,y0).对 y=ln x+x+1 求导可得 y'=1ᵆ+1. 由题意得, 1ᵆ0+1=2,解得 x0=1,故 y0=ln 1+1+1=2, 切线方程为 y-2=2(x-1),即 y=2x. 20.(12 分) 已知函数f(x)=ex-a(x+2). (1)当a=1 时,讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有两个零点,求a 的取值范围. 20.解 (1)当a=1 时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1. 当x<0 时,f'(x)<0;当x>0 时,f'(x)>0. 所以f(x)在(-∞ ,0)单调递减,在(0,+∞ )单调递增. (2)f'(x)=ex-a. 当a≤0 时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞ ,+∞ )单调递增,故f(x)至多存在1 个零点,不合题意. 当a>0 时,由f'(x)=0 可得x=ln a.当x∈(-∞ ,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞ )时f'(x)>0. 所以f(x)在(-∞ ,ln a)单调递减,在(ln a,+∞ )单调递增,故当x=ln a 时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a). ①若01e,则f(ln a)<0. 由于f(-2)=e-2>0,所以f(x)在(-∞ ,ln a)存在唯一零点. 由(1)知,当x>2 时,ex-x-2>0, 所以...