1 / 9 正多边形的有关计算【基础知识精讲】一、定理正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的直角三角形. 二、正多边形有关计算(1) 正 n 边形角的计算公式: ①每个内角等于nn180)2((n 为大于或等于3 的整数 ) ;②每个外角=每个中心角=n360. (2) 正 n 边形的其他有关计算, 由于正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的直角三角形,而每个直角三角形都集中地反映了这个正n 边形各元素之间的关系,所以,可以把正n 边形的计算转化为解直角三角形的问题,这个直角三角形的斜边为外接圆半径R,一条直角边是边心距r n,另一条直角边是边长 an的一半 ( 即 2na) ;两个锐角分别为中心角的一半( 即n180) 和一个内角的一半( 即n90) 或 ( 即90°-n180). 【重点难点解析】重点是把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题. 难点是通过作正n 边形的半径和边心距把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题. 例 1. 某正多边形的每个内角比其外角大100° ,求这个正多边形的边数. 解:设此正多边形的边数为n,则各内角为nn180)2(,外角为n360,依题意得:nn180)2(-n360=100° .解得 n=9 答:这个正多边形的边数为9. 例 2. 如图 7-42 ,已知:正三角形ABC外接圆的半径为R,求它的边长,边心距、周长和面积. 2 / 9 解:连结 OB,过 O作 OM⊥BC 于 M ∴∠BOM=3180=60° ,∴∠ OBM=30°∴OM= 21OB= 21R,∴ γ3= 2RBM=22OMOB=22)2( RR=23R ∴a 3=BC=2BM=3 R ∴P 3= 3a3=33 R ∴S3=3S△BOC=3× 213 R·2R=433R2 例 3. 一个正三角形和一个正六边形的面积相等,求它们边长的比. 解:如图 7-43 ,设 O,O′ 分别是正三角形ABC,正六边形 EFGHIJ的中心,分别作 OD⊥BC于 D,作 O′ K⊥GH于 K,连 OB,O′ G,则在Rt△ODB中,∠ BOD=3180=60° , BD= 21a3,3 / 9 ∴r 3= OD=BD· ctg60 ° =63a3,∴S 3= 6S△ODB=6× 21BD· OD=6× 21× 21a3× 63a3=43a32. 在 Rt△O′ KG 中,∠ GO′ K=6180=30° , GK= 21a6∴r 6=O′ K=GK· ctg30 ° =23a6∴S 6=12S△O′ GK=12× 21×GK×O′ K=12× 21× 21a32× 23a6=233a62 S3=S6,∴ 43a23=233a26∴2625aa= 23,∴2625aa=23,即 a3∶a 2=26例 4. 求证:正 n 边形的面积Sn等于其周长Pn与边...