1 / 9 正多边形的有关计算【基础知识精讲】一、定理正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的直角三角形. 二、正多边形有关计算(1) 正 n 边形角的计算公式： ①每个内角等于nn180)2((n 为大于或等于3 的整数 ) ；②每个外角＝每个中心角＝n360. (2) 正 n 边形的其他有关计算， 由于正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的直角三角形，而每个直角三角形都集中地反映了这个正n 边形各元素之间的关系，所以，可以把正n 边形的计算转化为解直角三角形的问题，这个直角三角形的斜边为外接圆半径R，一条直角边是边心距r n，另一条直角边是边长 an的一半 ( 即 2na) ；两个锐角分别为中心角的一半( 即n180) 和一个内角的一半( 即n90) 或 ( 即90°-n180). 【重点难点解析】重点是把正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形问题. 难点是通过作正n 边形的半径和边心距把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题. 例 1. 某正多边形的每个内角比其外角大100° ，求这个正多边形的边数. 解：设此正多边形的边数为n，则各内角为nn180)2(，外角为n360，依题意得：nn180)2(-n360＝100° .解得 n＝9 答：这个正多边形的边数为9. 例 2. 如图 7-42 ，已知：正三角形ABC外接圆的半径为R，求它的边长，边心距、周长和面积. 2 / 9 解：连结 OB，过 O作 OM⊥BC 于 M ∴∠BOM＝3180＝60° ，∴∠ OBM＝30°∴OM＝ 21OB＝ 21R，∴ γ3＝ 2RBM＝22OMOB＝22)2( RR＝23R ∴a 3＝BC＝2BM＝3 R ∴P 3＝ 3a3＝33 R ∴S3＝3S△BOC＝3× 213 R·2R＝433R2 例 3. 一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求它们边长的比. 解：如图 7-43 ，设 O，O′ 分别是正三角形ABC，正六边形 EFGHIJ的中心，分别作 OD⊥BC于 D，作 O′ K⊥GH于 K，连 OB，O′ G，则在Rt△ODB中，∠ BOD＝3180＝60° ， BD＝ 21a3，3 / 9 ∴r 3＝ OD＝BD· ctg60 ° ＝63a3，∴S 3＝ 6S△ODB＝6× 21BD· OD＝6× 21× 21a3× 63a3＝43a32. 在 Rt△O′ KG 中，∠ GO′ K＝6180＝30° ， GK＝ 21a6∴r 6＝O′ K＝GK· ctg30 ° ＝23a6∴S 6＝12S△O′ GK＝12× 21×GK×O′ K＝12× 21× 21a32× 23a6＝233a62 S3＝S6，∴ 43a23＝233a26∴2625aa＝ 23，∴2625aa＝23，即 a3∶a 2＝26例 4. 求证：正 n 边形的面积Sn等于其周长Pn与边...
