求数列通项公式的方法教学说课+例题+习题

求数列的通项公式的方法1. 定义法 ：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例 1．等差数列na是递增数列，前n 项和为nS ，且931,,aaa成等比数列，255aS．求数列na的通项公式 . 解：设数列na公差为)0(dd 931,,aaa成等比数列，∴9123aaa，即)8()2(1121daadadad12 0d，∴da1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯① 255aS∴211)4(2455dada⋯⋯⋯⋯②由①②得：531a，53d∴nnan5353)1(53点评 ：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。练一练： 已知数列,3219,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________；2. 公式法 ：已知nS （即12( )naaaf n ）求na ，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。例 2．已知数列na的前 n 项和nS 满足1,)1(2naSnnn．求数列na的通项公式。解：由1121111aaSa当2n时，有,)1(2)(211nnnnnnaaSSa,)1(22221nnnaa⋯⋯，.2212aa经验证11a也满足上式，所以])1(2[3212nnna点评：利用公式211nSSnSannnn求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并 ．练一练： ①已知 {}na 的前 n项和满足2log (1)1nSn，求na ；②数列 {}na满足11154,3nnnaSSa，求na ；3. 作商法： 已知12( )na aaf n 求na ，用作商法：(1),(1)( ),(2)(1)nfnf nanf n。如数列}{na中，,11a对所有的2n都有2321naaaan，则53aa______；4. 累加法 ：若1( )nnaaf n 求na ：11221()()()nnnnnaaaaaaa1a (2)n。例 3.已知数列na满足211a，nnaann211，求na 。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累加之，即)()()()(1342312nnaaaaaaaa所以naa n111211a，nnan1231121如已知数列 {}na满足11a，nnaann111(2)n，则na =________；5. 累乘法： 已知1( )nnaf na求na ，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n。例 4.已知数列na满足321a，nnanna11，求na 。解：由条件知11nnaann，分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即又321a，nan32如已知数列}{na中，21a，前 n 项和nS ，若nnanS2，求na6. 已知递推关系求na ，用构造法（构造等差、等比数列） 。（1）形如1nnakab 、1nnnakab （,k b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k 的等比数列后 ，再求na 。①1nnakab 解法：把原递推公式转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例 5.已知数列na中，11a，321nnaa，求na . 解 ：...