求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时， 应根据曲线的不同背景， 不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究．1．定义法求曲线方程时， 如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法．例 1如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点 A 重合，设折痕m 交线段 CM 于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设圆 C：(x＋1)2＋y2＝4a2 (a>1)，A(1,0)，记点 N 的轨迹为曲线E. (1)证明曲线 E 是椭圆，并写出当a＝2 时该椭圆的标准方程；(2)设直线 l 过点 C 和椭圆 E 的上顶点 B，点 A 关于直线 l 的对称点为点Q，若椭圆 E 的离心率 e∈ 12，32，求点 Q 的纵坐标的取值范围．解(1)依题意，直线m 为线段 AM 的垂直平分线，∴|NA|＝|NM|. ∴|NC|＋ |NA|＝|NC|＋|NM |＝|CM |＝2a>2，∴N 的轨迹是以C、A 为焦点，长轴长为2a，焦距为 2 的椭圆．当 a＝2 时，长轴长为2a＝4，焦距为 2c＝2，∴b2＝a2－ c2＝3. ∴椭圆的标准方程为x24 ＋y23 ＝1. (2)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)．由(1) 知： a2－b2＝1.又 C(－1,0)，B(0， b)，∴直线 l 的方程为x－1＋yb＝1，即 bx－y＋b＝ 0. 设 Q(x， y)， 点 Q 与点 A(1,0)关于直线 l 对称，∴yx－1·b＝－ 1，b·x＋12－ y2＋b＝0，消去 x 得 y＝4bb2＋1. 离心率 e∈ 12，32，∴14≤e2≤34，即14≤ 1a2≤34.∴43≤a2≤4. ∴43≤b2＋1≤4，即33 ≤b≤3， y＝4bb2＋1＝4b＋1b≤2，当且仅当b＝1 时取等号．又当 b＝3时， y＝3；当 b＝33 时， y＝3.∴3≤y≤2. ∴点 Q 的纵坐标的取值范围是[3，2]．2．直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．例 2已知直线 l 1：2x－3y＋2＝0，l2：3x－2y＋3＝0.有一动圆 M(圆心和半径都在变动)与 l 1，l 2 都相交， 并且 l1，l2 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心 M 的轨迹方程．解如图，设 M(x，y)，圆半径为r，M 到 l1，l 2 的距离...
