求递推数列的通项公式的十一种方法包含特征根和不动点

求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值 . 自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法例 1 在数列 {na } 中，31a,)1(11nnaann，求通项公式na . 解 ： 原 递 推 式 可 化 为 ：1111nnaann则,211112aa312123aa413134aa，⋯⋯，nnaann1111逐项相加得：naa n111. 故na n14. 二、作商求和法例2 设 数 列 {na} 是 首 项 为 1的 正 项 数 列 ， 且0)1(1221nnnnaanaan（n=1,2,3 ⋯），则它的通项公式是na =▁▁▁（ 2000 年高考 15 题）解：原递推式可化为：)]()1[(11nnnnaanaan=0 nnaa1＞0，11nnaann则,43,32,21342312aaaaaa⋯ ⋯ ，nnaann11逐项相乘得：naa n11，即na =n1 . 三、换元法例 3 已知数列 {na } ，其中913,3421aa，且当 n≥3时，)(31211nnnnaaaa，求通项公式na （1986 年高考文科第八题改编）. 解：设11nnnaab，原递推式可化为：}{,3121nnnbbb是一个等比数列，9134913121aab，公比为31.故nnnnbb)31()31(91)31(2211. 故nnnaa)31(1. 由逐差法可得：nna)31(2123. 例 4 已知数列 {na } ，其中2,121aa，且当 n≥3 时，1221nnnaaa， 求 通 项 公 式na。 解由1221nnnaaa得：1)()(211nnnnaaaa，令11nnnaab，则上式为121nnbb，因此}{nb是一个等差数列，1121aab，公差为 1. 故nbn. 。由于112312121nnnnaaaaaaabbb又2)1(121nnbbbn所以)1(211nna n，即)2(212nna n四、积差相消法例 5（1993 年全国数学联赛题一试第五题）设正数列0a ，1a ，na⋯ ，na， ⋯ 满 足2nnaa21nn aa=12na)2(n且110aa，求}{na的通项公式 . 解将 递 推 式 两 边 同 除 以21nn aa整 理 得 ：12211nnnnaaaa设nb =1nnaa，则011aab=1，121nnbb，故有12 12bb⑴1223bb⑵⋯⋯⋯⋯121nnbb (1n) 由 ⑴22n+ ⑵32n +⋯ +(1n)02得122221nnb=12n，即1nnaa=12n. 逐项相乘得：na =2)12(222)12()12(n，考虑到10a，故2222)12()12()12(1nna)1()0(nn . 五、取倒数法例 6 已知数列 {na } 中，其中,11a，且当n≥2 时，1211nnnaaa，求通项公式na 。解将1211nnnaaa两边取倒数得：2111nnaa，这说明}1{na是一个等差数列，首项是111a，公差为2，所以122)1(11nna n，即121na n. 六、取对数法例 7 若数列 {na } 中，1a =3 且21nnaa（ n 是正整数），则它的通项公式是na...