江苏专转本高等数学矢量与解析几何例题加习题

第七章矢量与空间解析几何本章主要知识点矢量运算平面直线方程主要的几个立体图形及方法一、矢量运算着重掌握矢量的内积、叉积运算，并深刻理解这两种运算在研究线线、线面、面面之间位置关系时的作用；掌握以矢量为主要线索来建立直线和平面方程的方法和实质。1．矢量的内积（1）cosa bab，其中为,a b 的夹角（2）若321321,,,,,bbbbaaaa，332211babababa且 aa a（3）0baba(ba,为非零矢量) 例 7.1．3,0,1,2,1,1ba，求 a b 。解：5320111ba。例 7.2．如果3, , 2 ,,2, 1ab，且ba，求。解：0ba得： 3220得：25。2．矢量的叉积ab如图所示，如果a 不平行于 b ，则ba同时垂直与a 又垂直于 b ，或者等价地，bac垂直于由ba,确定的一平面。它在后面研究平面与直线中起相当重要的作用。如果321321,,,,,bbbbaaaa那么321321bbbaaakjiba，利用第一行代数余子式展开计算。若ba,非零，//a2121210ccbbaabab例 7.3．3,2,1,1,1,1ba，求ba解：3,2,5325211131113211321111kjikjikjiba例 7.4．如果1, ,1 ,a2,3,2b，//ab 求解： 11232，解得：32。3．单位向量0aaa为矢量 a 的方向上的单位矢量。abab图示 7.1 4．矢量 b 在 a 上的投影aprojb2aa bprojbaa二、平面方程1．平面方程的基本形式（点法式）平面过点0,000,zyxM，法矢量为CBAn,,那么平面方程为000000n MMA xxB yyC zz（ 1）点法式有两个基本要素：点0M和法向量n 。（ 2）如果一平面方程写为0AxByCzD，那么, ,nA B C。（ 3）两平面之间的位置矢量由各自的法向量21, nn来决定。（ 4）点111,,Mx y z到平面0DCzByAx的距离 d111222AxByCzDdABC例 7.5．已知平面过三点)1,1,2(),2,0,1(),1,1,1(321MMM,求平面方程。解：1213{ 2,1,1},{1,0, 2}aM MbM M}1,3,2{32201112kjikjiban平面方程为0)1(1)1(3)1(2zyx例 7.6．已知平面过点),3,1,0(),1,1,1(21MM且平行与矢量{1, 1, 2}b，求平面方程。解：}4,2,1{21MMa12486{ 8, 6, 1}112ijknabijk平面方程为8(1)6(1)1(1)0xyz。例 7.7．已知平面过点1( 1,1, 2)M且与平面2255xyz平行，求平面的方程解：{2,2,5}n，平面方程为2(1)2(1)5(2)0xyz。三、直线方程直线过),,(0000zyxM且方向矢量为),,{lnml，则直线方程（点斜式）的基本形式为：lzznyymxx000直线点斜式两基本要素为0M及方向矢量l 。另外一种常见的直线方程可由两平面相交形式给出。例 7.8．如果直线方程为102220xyzxyz，求直线的方向矢量l 的点斜式方程解：...