江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（ 2000 年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题 （每小题 3 分，共 15 分）1．已知21()df xdxx，则( )fx．2．1ln0lim (tan)xxx．3．211dxxx．4．若级数11( 2)66nnnnnan收敛，则 a 的取值为．5．[( )()]sinaa f xfxxdx．二、选择题 （每小题 3 分，共 15 分）1．函数21( )(1)xef xx x的可去间断点为（）．A．0, 1xB．1xC．0xD． 无可去间断点2．设21( )sin,( )sinf xxg xxx，则当0x时，( )f x 是( )g x 的（）．A．同阶无穷小但不等价B．低阶无穷小C．高阶无穷小D．等价无穷小3．设常数0k，函数( )lnxfxxke在 (0,) 内零点个数为（）．A． 3B． 2C． 1D．04．设( )yf x 对一切 x 满足240yyy，若0()0fx且0()0fx，则函数( )f x在点0x （）．A．取得极大值B．取得极大值C．某个邻域内单调增加D．某个邻域内单调减少5．过点 (2,0,3) 且与直线2470,35210xyzxyz垂直的平面方程是（）．A．16(2)1411(3)0xyzB． (2)24(3)0xyzC． 3(2)52(3)0xyzD．16(2)1411(3)0xyz三、（8 分）设2220ln(1)()lim(ln)exxaxbxdxxxx，求常数,a b ．四、（6 分）已知函数( )yy x 由方程组(1)0,10yxtttey确定，求220td ydx．五、（6 分）设( ),( )f xg x 在 [ , ]a b 上连续，在 ( , )a b 内可导，且对于( , )a b 内的一切 x 均有( ) ( )( )( )0fx g xf x g x，证明：若( )fx 在 ( , )a b 内有两个零点，则介于这两个零点之间，( )g x 至少有一个零点．六、（ 6 分）设12( )sinsin 2sinnf xaxaxanx ，其中12,,,na aa 是实数，且|( ) | | sin|f xx ，试证：12|2| 1naana七、（ 6 分）过抛物线2yx上一点2( ,)a a作切线，问a 为何值时所作切线与抛物线241yxx所围成的图形面积最小？八、（6 分）当0x时，220( )()( )xF xxtft dt 的导数与2x 为等价无穷小，求(0)f．九、（8 分）求级数210(21)nnnx的收敛域及和函数. 十、（8 分）将1( )arctan1xf xx展为 x 的幂级数，并指明收敛域．十一、（6 分）求581xxdxx．十二、（8 分）设可微函数( )f x 在0x上有定义，其反函数为( )g x ，且满足3()211( )(8)3fxg x dxxx，试求( )f x ．第六届（ 2002 年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题 （每小题 5 分，共 40 分）1．40ln(1)lim1cos(1cos )xxx．2．设0lim(0)xxkxeec cx，则 k...
