关于辅助角公式的一个定理及其应用定理1设函数，则(1)当且仅当时，；(2)当且仅当时，．证法1因为，所以可设，得(1)(1)当且仅当Z)即时，．(2)当且仅当Z)即时，．证法2因为函数可化成的形式，所以是的最值点是的极值点又因为(同时选“+”或同时选“”)(2)显然，(2)．所以，是的最值点(2)．由此可得欲证．注由恒等式(1)及容易记忆定理．推论1设函数，则(1)当且仅当时，取到最值；(2)当且仅当时，曲线关于直线对称．推论2若函数(定义域是)，则(1)当时，；(2)当时，．推论3若函数(定义域是)，则(1)当时，；(2)当时，．题1(2013年高考全国卷新课标I理科第15题)设当时，函数取得最大值，则．答案解由定理1(1)得．题2(2008年高考浙江卷理科第8题)若，则()A.B.2C.D.-2答案B解设，由题意得，当时取最小值，所以由定理1(2)得，得．题3(2006年高考湖南卷理科第14题)若是偶函数，则有序实数对可以是____．(写出你认为正确的一组数即可)答案解得，是偶函数即曲线关于直线对称，所以由推论1(2)，得即，所以是所求的所有答案．题4若函数的图像关于直线对称，则()A.B.C.1D.答案D解题设即函数的图像关于直线对称，所以由推论1(2)，得．题5已知函数．(1)求函数的值域；(2)求函数的最值点．解(1)因为函数的定义域包含了一个周期，所以该函数的值域是．(2)由定理1(1)知，当且仅当即时函数取到最大值．由定理1(2)知，当且仅当即时(因为可证)函数取到最小值．所以函数的最大值点是，最小值点是．题6(1)求函数的值域及最值点；(2)求函数的值域及最值点．解(1)由定理1知当且仅当即时函数取到最大值；当且仅当(但此时Ø)时函数取到最小值．所以函数没有极小值点且有唯一的极大值点，又因为，所以函数的值域是，最大值点是，无最小值点．(2)由定理1知当且仅当(但此时Ø)时函数取到最大值；当且仅当(但此时Ø)时函数取到最小值．所以函数没有极值点，即是单调函数，进而可得是减函数，所以其值域是，最大值点是，无最小值点．题7求函数的值域及最值点．解设，得，所以可设，得．设函数．由定理1知当且仅当即时函数取到最大值；由定理1知当且仅当(但此时Ø)函数取到最小值．所以函数的最小值是，进而可得函数的值域是，最大值点是，最小值点是．题8(同济大学2004年自主招生优秀考生文化测试数学试卷第9题)试利用三角函数求函数求函数的最大值与最小值．解可设，得．由定理1知当且仅当即时函数取到最大值；由定理1知当且仅当即时函数取到最小值．题9(2014年高考山东卷理科第9题即文科第10题)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为()A．5B．4C.D．2答案B解由题设，得.可设，所以还可设.由，可得.求的最小值即求的最小值，即求正数的最大值．由定理1(1)知，当且仅当时，R)取最大值.所以当且仅当时，取最大值，即的最小值是2．所以当且仅当时，a2＋b2取最小值4．注用柯西不等式求解题9最快．题10(1)(2014年高考辽宁卷理科第16题)对于，当非零实数满足，且使最大时，的最小值为．(2)(2014年高考辽宁卷文科第16题)对于，当非零实数满足，且使最大时，的最小值为．答案(1)(2)解(1)可得，所以可设即，得.由定理1得，当且仅当(两者的正负号一致，下同)即时最大，进而可求得答案．(2)同上可求．题11(2014年高考山东卷理科第15题)已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)＞g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．答案(2，＋∞)解可得题意即恒成立．因为，所以可设，得恒成立．由推论3(1)知，当且仅当时，．所以所求b的取值范围是(2，＋∞)．用排除法简解2015年高考全国卷I理科第12题高考题(2015年高考全国卷I理科第12题)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0，则a的取值范围是()A.B.C.D.解法1(数形结合法)D.令g(x)＝ex(2x－1)，得g′(x)＝ex(2x＋1).由g′(x)>0得x>－，由g′(x)<0得x<－，所以函数g(x)在上分别是减函数、增函数．...
