添辅助线构造全等三角形VIP专享

1 / 4 2 1 E D C B A 1 2 E D C B A D AECBD E CAB全等三角形综合一、添辅助线构造全等三角形常见的辅助线有：①题中有三角形中线的条件时，常作如下辅助线：如下图，△ ABC 中， BD=DC ，延长 AD 到 E，使 DE=AD ，连结 CD 或 BE。则有结论△ CDE ≌△ BDA 或△ BDE ≌△ CDA ②题中有三角形角平分线的条件时，常作如下辅助线：如图 (1)，∠ 1=∠2，AB>AC ，则在 AB 上截取 AE=AC ，连结 DE，必有结论△ ADE ≌△ ADC. 如图 (2)，若延长 AC 到 E，使 AE=AB ，连结 DE，必有结论△ ADE ≌△ ADB. 如图 (3)，若作 DE⊥ AB 于 E，DF⊥AC 于 F，必有结论DE=DF. 二、例题例１已知：如图， AB=DE ，BC=EF，CD=FA ，∠ A= ∠ D。求证：∠ B= ∠E。分析： 要证∠ B=∠ E，通常的思路是要证△ABC ≌△ DEF，但如果连结AC 、DE 就会破坏∠ A=∠D 的条件。因此应当另想他法。观察后不难发现：△ABF ≌△ DEC，于是可证∠ ABF= ∠DEC ，进一步即可证明∠ABC= ∠DEF 证明：如果直接证明线段或角相等比较困难时，可以将线段、角扩大（或缩小）或将线段、角分解为几部分，再分别证明扩大（或缩小）的量相等；或证明被分成的几部分对应相等，这是证明线段、角相等的一个常用手段。例２如图 ABAE ，BE ， BCED ，点 F 是 CD 的中点， AFCD 吗？试说明理由。分析： 分析题目结论假定AFCD ，可转化为AFCAFD ，需证它们所在的两个三角形全等；解：F 2 1 E D C B A A B C D E F FEDCBA2 / 4 例３： 已知：如图，AD∥BC，AE、BE 分别平分∠ DAB 和∠ CBA，DC 过点 E。求证：AB=AD +BC分析：从要证明的结论AB=AD+BC上看，显然是两条线段的和与另外一条线段相等，可以考虑，能否在长的AB 边上截一段等于AD（或 BC），利用角平分线的条件证全等。证明（一）：在 AB 上截 AF=AD ，连结 EF证明（二）：延长 AE、BC 交于点 F。例４： 已知：如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠ BAD、CE⊥AB 于 E，且∠ B+ ∠D=180 。求证： AE=AD+BE分析： 从上面例题，可以看出，有时为了证明某两条线段和等于另一条线段，可以考虑“截长补短”的添加辅助线，本题是否仍可考虑这样“截长补短”的方法呢？由于AC 是角平分线，所以在 AE 上截 AF=AD ，连结 FC，可证出ADC≌AFC，问题就可以得到解决。证明（一）：在 AE 上...