初中数学胡不归问题

胡不归问题 【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危 的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原 理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A→ B（如图所示），而忽视了走折线虽 然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小 伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？ 胡不归？…何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到 家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问 题”。 【问题背景】 “PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当 k 值为 1 时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型 来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。 而当 k 取任意不为 1 的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无 法进行，因此必须转换思路。 此类问题的处理通常以动点 P 所在图像的不同来分类，一般分为 2 类研究。 即点 P 在直线上运动和点 P 在圆上运动。 其中点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； 点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。 本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。 【知识储备】 线段最值问题常用原理： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 【模型初探】 （一）点 P 在直线上运动 “胡不归”问题 如图 1-1-1 所示，已知 sin∠MBN=k,点 P 为角∠MBN 其中一边 BM 上的一个动 点，点 A 在射线 BM、BN 的同侧，连接 AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的 位置如何确定? 分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点 P 作 PQ⊥BN 垂足为 Q，则 k·PB=PB·sin∠MBN=PQ, ∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图 1-1-2)， 即 A、P、Q 三点共线时最小（如图 1-1-3），本题得解。 图 1-1-1 图 1-1-2 图 1-1-3 思考：当 k 值大于 1 时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？ 提取系数 k 即可哦！！！ 【模型初探】 （二）点 P 在圆上运动 “阿氏圆”问题 如图所示 2-1-1，⊙O 的半径为 r,点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上...