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初中数学证明圆的切线经典例题

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1 初中数学-证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有: 一、若直线l过⊙O 上某一点A,证明l是⊙O 的切线,只需连OA,证明OA⊥l就行了,简称“连半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直. 例 1 如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于 D,交 AC 于 E,B 为切点的切线交 OD 延长线于 F. 求证:EF 与⊙O 相切. 证明:连结 OE,AD. AB 是⊙O 的直径, ∴AD⊥BC. 又 AB=BC, ∴∠3=∠4. ∴BD=DE,∠1=∠2. 又 OB=OE,OF=OF, ∴△BOF≌△EOF(SAS). ∴∠OBF=∠OEF. BF 与⊙O 相切, ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明:此题是通过证明三角形全等证明垂直的 ⌒ ⌒ 2 例2 如图,AD 是∠BAC 的平分线,P为 BC 延长线上一点,且 PA=PD. 求证:PA 与⊙O 相切. 证明一:作直径 AE,连结 EC. AD 是∠BAC 的平分线, ∴∠DAB=∠DAC. PA=PD, ∴∠2=∠1+∠DAC. ∠2=∠B+∠DAB, ∴∠1=∠B. 又 ∠B=∠E, ∴∠1=∠E AE 是⊙O 的直径, ∴AC⊥EC,∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即 OA⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二:延长 AD 交⊙O 于 E,连结 OA,OE. AD 是∠BAC 的平分线, ∴BE=CE, ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. OA=OE, ∴∠E=∠1. PA=PD, ∴∠PAD=∠PDA. 又 ∠PDA=∠BDE, ⌒ ⌒ 3 ∴∠1+∠PAD=900 即 OA⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切 说明:此题是通过证明两角互余,证明垂直的,解题中要注意知识的综合运用. 例 3 如图,AB=AC,AB 是⊙O 的直径,⊙O 交 BC 于 D,DM⊥AC 于 M 求证:DM 与⊙O 相切. 证明一:连结 OD. AB=AC, ∴∠B=∠C. OB=OD, ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. DM⊥AC, ∴DM⊥OD. ∴DM 与⊙O 相切 证明二:连结 OD,AD. AB 是⊙O 的直径, ∴AD⊥BC. 又 AB=AC, ∴∠1=∠2. DM⊥AC, ∴∠2+∠4=900 OA=OD, ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. D C 4 即OD⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线 说明:证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的,解题中注意充分利用已知及图上已知. 例4 如图,已知:AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,且∠CAB=300,BD=OB,D 在AB 的延长线上. 求证:DC 是⊙O 的切线 证明:连结OC、BC. OA=OC, ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又 OC...

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