初中数学证明圆的切线经典例题

1 初中数学-证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O 上某一点A，证明l是⊙O 的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例 1 如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于 D，交 AC 于 E，B 为切点的切线交 OD 延长线于 F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结 OE，AD. AB 是⊙O 的直径， ∴AD⊥BC. 又 AB=BC， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE，∠1=∠2. 又 OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. BF 与⊙O 相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 ⌒ ⌒ 2 例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P为 BC 延长线上一点，且 PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径 AE，连结 EC. AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又 ∠B=∠E， ∴∠1=∠E AE 是⊙O 的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即 OA⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长 AD 交⊙O 于 E，连结 OA，OE. AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. OA=OE， ∴∠E=∠1. PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又 ∠PDA=∠BDE, ⌒ ⌒ 3 ∴∠1+∠PAD=900 即 OA⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 例 3 如图，AB=AC，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交 BC 于 D，DM⊥AC 于 M 求证：DM 与⊙O 相切. 证明一：连结 OD. AB=AC， ∴∠B=∠C. OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. ∴OD∥AC. DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM 与⊙O 相切 证明二：连结 OD，AD. AB 是⊙O 的直径， ∴AD⊥BC. 又 AB=AC, ∴∠1=∠2. DM⊥AC， ∴∠2+∠4=900 OA=OD， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. D C 4 即OD⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线 说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知. 例4 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB，D 在AB 的延长线上. 求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC、BC. OA=OC， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又 OC...