初中数学：将军饮马问题习题

1 lBAlPBAlBAB'lPBAlBAlPBAPB'lBAlBA 将军饮马 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。 模型 1 定直线与两定点 模型 作法 结论 当两定点 A、B 在直线l异侧时，在直线l上找一点 P，使PA+PB最小。 连接 AB 交直线l于点 P，点P 即为所求作的点。 PA+ PB 的 最小。 当两定点 A、B 在直线l同侧时，在直线l上找一点 P，使PA+PB 最小。 作点 B 关于直线l的对称点B′，连接 AB′交直线于点P，点 P 即为所求作的点。 PA+PB 的最小值为AB′。 当两定点 A、B 在直线l同侧时，在直线l上找一点 P，使PAPB最大。 连接 AB 并延长交直线l于点P，点 P 即为所求作的点。 PAPB的最大值为 AB。 当两定点 A、B 在直线l同侧时，在直线l上找一点 P，使PAPB最大。 作点 B 关于直线l的对称点B′，连接 AB′并延长交直线于点 P，点 P 即为所求作的点。 PAPB的最 大 值 为AB′。 2 lBAlPBAPEDCBAPDCBAEDCBA 当两定点A、B 在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使PAPB最小。 连接AB，作AB 的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点。 PAPB的最小值为0。 模型实例 例1．如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，则PD+PE 的最小值为 。 例2．如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC=BC=4，∠BCD=15°，P 为CD 上的动点，则PAPB的最大值是多少？ 热搜精练 1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB-90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边 上一动点，则EC+ED 的最小值是 。 3 OyxB（2，0）A（3，0）MNDCBA2．如图，点C 的坐标为（3，y），当△ABC 的周长最短时，求 y的值。 3．如图，正方形 ABCD 中，AB-7，M 是 DC 上的一点，且 DM-3，N 是 AC 上的一 动点，求 DNMN的最小值与最大值。 4 模型2 角到定点 模型 作法 结论 点P 在∠AOB 的内部，在OB 上找点D，在OA上找点C，使得△PCD 周长最小。 分别作点P 关于OA、OB的对称点P′、P"，连接 P′P"，交 OA、OB 于点C、D，点C、D 即为所求。 △PCD 周长最小为 P′P"。 点P 在∠AOB 的内部，在OB 上找点D，在OA上找点C，使得PD+CD最小。 作点P 关于...