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初中数学:将军饮马问题习题

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1 lBAlPBAlBAB'lPBAlBAlPBAPB'lBAlBA 将军饮马 “将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题,会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合,在近年的中考和竞赛中经常出现,而且大多以压轴题的形式出现。 模型 1 定直线与两定点 模型 作法 结论 当两定点 A、B 在直线l异侧时,在直线l上找一点 P,使PA+PB最小。 连接 AB 交直线l于点 P,点P 即为所求作的点。 PA+ PB 的 最小。 当两定点 A、B 在直线l同侧时,在直线l上找一点 P,使PA+PB 最小。 作点 B 关于直线l的对称点B′,连接 AB′交直线于点P,点 P 即为所求作的点。 PA+PB 的最小值为AB′。 当两定点 A、B 在直线l同侧时,在直线l上找一点 P,使PAPB最大。 连接 AB 并延长交直线l于点P,点 P 即为所求作的点。 PAPB的最大值为 AB。 当两定点 A、B 在直线l同侧时,在直线l上找一点 P,使PAPB最大。 作点 B 关于直线l的对称点B′,连接 AB′并延长交直线于点 P,点 P 即为所求作的点。 PAPB的最 大 值 为AB′。 2 lBAlPBAPEDCBAPDCBAEDCBA 当两定点A、B 在直线l同侧时,在直线l上找一点P,使PAPB最小。 连接AB,作AB 的垂直平分线交直线l于点P,点P即为所求作的点。 PAPB的最小值为0。 模型实例 例1.如图,正方形ABCD 的面积是12,△ABE 是等边三角形,点E 在正方形ABCD 内,在对角线AC 上有一点P,则PD+PE 的最小值为 。 例2.如图,已知△ABC 为等腰直角三角形,AC=BC=4,∠BCD=15°,P 为CD 上的动点,则PAPB的最大值是多少? 热搜精练 1.如图,在△ABC 中,AC=BC=2,∠ACB-90°,D 是BC 边的中点,E 是AB 边 上一动点,则EC+ED 的最小值是 。 3 OyxB(2,0)A(3,0)MNDCBA2.如图,点C 的坐标为(3,y),当△ABC 的周长最短时,求 y的值。 3.如图,正方形 ABCD 中,AB-7,M 是 DC 上的一点,且 DM-3,N 是 AC 上的一 动点,求 DNMN的最小值与最大值。 4 模型2 角到定点 模型 作法 结论 点P 在∠AOB 的内部,在OB 上找点D,在OA上找点C,使得△PCD 周长最小。 分别作点P 关于OA、OB的对称点P′、P",连接 P′P",交 OA、OB 于点C、D,点C、D 即为所求。 △PCD 周长最小为 P′P"。 点P 在∠AOB 的内部,在OB 上找点D,在OA上找点C,使得PD+CD最小。 作点P 关于...

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