- 1 - 初二数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查． 【十二个基本问题】 【问题1 】 作法 图形 原理 在直线 l上求一点P，使PA+PB 值最小． 连 AB，与l交点即为 P． 两点之间线段最短． PA+PB 最小值为 AB． 【问题2 】“将军饮马” 作法 图形 原理 在直线 l上求一点P，使PA+PB 值最小． 作 B 关于 l的对称点B＇连 A B＇，与l交点即为 P． 两点之间线段最短． PA+PB 最小值为 A B＇． 【问题3 】 作法 图形 原理 在直线 1l、 2l 上分别求点M、N，使△PMN 的周长最小． 分别作点P 关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连 P＇P＇＇，与两直线交点即为 M，N． 两点之间线段最短． PM+MN+PN 的最小值为 线段 P＇P＇＇的长． 【问题4 】 作法 图形 原理 在直线 1l、 2l 上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小． 分别作点Q 、P 关于直线1l、 2l 的对称点Q＇和P＇连 Q＇P＇，与两直线交点即为 M，N． 两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段 P＇P＇＇的长． 【问题5 】“造桥选址” 作法 图形 原理 lABlPBAlBAlPB'ABl1l2Pl1l2NMP''P'Pl1l2NMP'Q'QPl1l2PQ- 2 - 直线m ∥ n，在 m 、 n，上分别求点 M、N，使 MN⊥ m ，且 AM+MN+BN 的值最小． 将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A＇，连 A＇B，交 n于点 N，过 N 作 NM⊥ m 于M． 两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小值为 A＇B+MN． 【问题 6 】 作法 图形 原理 在直线l 上求两点 M、N（M在左），使aMN ，并...
