高一·联赛班·第 4 讲·学生版 1 第 四 讲 初等 数 论 1——整除性 本讲概述 数论是数学中极其重要又非常迷人的一个分支，目前我们仅学习初等数论中较浅的内容. 初等数论是数学竞赛四大模块中较难以掌握的模块之一，在数学竞赛中占据极其重要的位置.特别是联赛改制以后，二试必考一道 50 分的数论大题，一试也会有一到两道数论方面的问题.数论与组合水平如何是大家能否获得联赛一等奖甚至更好成绩的关键. 初等数论这块的竞赛问题涉及到的知识点极少，甚至可以说绝大部分同学在小学初中的培训中基本都接触过.但是限于初中的知识面和同学的年龄，考试中一般不出现较为深入、难度较高的数论问题.到了高中，大家将复习小学初中阶段的数论知识，并将其中的很多知识更为理论化、系统化.高中的数论问题难度也会明显增高. 但是在数论这一模块中，我们并不提倡大家过多地掌握很多高深的数论知识，而是提倡大家真正去灵活熟练地运 用 最 基本、最 重要的数论基础 知识和重要定 理来 解 决 问题. 由 于同学们在小学、初中都已 经 学过不少关于初等数论的初步 知识，所 以这里 我们把 大家比 较熟悉 的知识都罗 列 在下 面，对 其中大部分定 理将不给 出证 明，直 接给 出结 论. 如果 不特别说明，本讲中所 有字 母 均 代 表 正整 数. 一、整 除 1． 整 除 的定 义 两个整 数 a 和 b(b≠ 0)，若 存 在整 数 k，使 得 a=bk，我们称 a 能被 b 整 除 ，记 作 b|a． 此 时 把a 叫 做 b的倍 数，b 叫 做 a 的约 数． 如果 a 除 以 b 的余 数不为零 ，则 称 a 不能被 b 整 除 ，或 b 不整 除 a，记 作 ba ． 2． 数的整 除 特征 （ 1） 1 与 0 的特性 ： 1 是任 何整 数的约 数，即 对 于任 何整 数 a，总 有 1|a． 0 是任 何非零 整 数的倍 数，a≠ 0，a 为整 数，则 a|0． （ 2） 能被 2，5； 4，25； 8，125； 3，9； 11，7，13 整 除 的数的特征 ： 能被 2 整 除 的数的特征 ： 个位为0，2，4，6，8 的整 数能被 2 整 除 ，我们记 为2k(k 为整 数)． 能被 5 整 除 的数的特征 ： 个位数为0 或 5 的整 数必被 5 整 除 ，我们记 为5k(k 为整 数)． 能被 4、25 整 除 的数的特征 ： 末 两位数字 组成的两位数能被 4（ 25） 整 除 的整 数必...
