初等数论练习题及答案

初等数论练习题一 一、填空题 1、 (2420)=27； (2420)=_880_ 2、设a，n 是大于1 的整数，若an-1 是质数，则a=_2. 3、模9 的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100 的通解是x=900+23t，y=700+18t tZ。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_(m)_。 7、18100 被 172 除的余数是_256。 8、10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程xp 11(mod p)的解数为 p-1。 二、计算题 1、解同余方程：3x211x200 (mod 105)。 解：因 105 = 357， 同余方程3x211x200 (mod 3)的解为 x1 (mod 3)， 同余方程3x211x38 0 (mod 5)的解为 x0，3 (mod 5)， 同余方程3x211x200 (mod 7)的解为 x2，6 (mod 7)， 故原同余方程有 4 解。 作同余方程组：xb1 (mod 3)，xb2 (mod 5)，xb3 (mod 7)， 其中 b1 = 1，b2 = 0，3，b3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为 x 13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(••）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解： 故同余方程x2≡42(mod 107) 有解。 3、求（1271 56+34）28 除以 111 的最小非负余数。 2 / 25 解：易知1271≡50（mod 111）。 由502≡58（mod 111），503≡58×50≡14（mod 111），509≡143≡80（mod 111）知5028≡（509）3×50≡803×50≡803×50≡68×50≡70（mod 111） 从而5056≡16（mod 111）。 故（127156+34）28≡（16+34）28≡5028≡70（mod 111） 三、证明题 1、已知p是质数，（a，p）=1，证明： （1）当a 为奇数时，ap-1+(p-1)a≡0 (mod p)； （2）当a 为偶数时，ap-1-(p-1)a≡0 (mod p)。 证明：由欧拉定理知ap-1≡1 (mod p)及(p-1)a≡-1 (mod p)立得（1）和（2）成立。 2、设a 为正奇数，n为正整数，试证n2a≡1(mod 2n+2)。…………… （1） 证明 设a = 2m1，当n = 1 时，有 a2 = (2m1)2 = 4m(m1)11 (mod 23)，即原式成立。 设原式对于n = k 成立，则有ka21 (mod 2k+2) ka 2 = 1...