北京理工大学出版社矩阵分析习题解答

1 2005 级电路与系统矩阵分析作业 3－ 1 已知)(ijaA 是 n 阶正定Hermite 矩阵，在n 维线性空间nC 中向量 nxxx,,,21 ，nyyy,,,21定义内积*),(A。（ 1）证明在上述定义下，nC 是酉空间； （ 2）写出nC 中的Canchy－ Schwarz 不等式。 (1)证明：),(＝HA=HHA)(=HA ， (,k)＝),(kAkH  ),(),()(),(HHHAAA HA),(，因为A 为正定H 矩阵，所以0),(，当且仅当0),(0时， 由上可知cn 是酉空间。証毕。 （ 2）解： njnijijiHyaxA|||),(| njnijijixax),(||||，njnijijiyay),(|||| 由 Cauchy-Schwarz 不等式有： njnijijinjninjnijijijijiyayxaxyax* 3－ 3（ 1） 已知.A＝502613803－－－，试求酉矩阵U,使得U*AU 是上三角矩阵 解：由 | E-A| = ( +1) 3 得  = － 1 是 A 的特征值，当  ＝－1 时，可得| E-A|＝000000201于是1＝（ 0， 1， 0）T 是 A 的特征向量。选择与1正交，并且互相也正交两个向量组成酉阵：U1= 100001010 则 U1*A U1= 520830631 取 A1= 5283， | E- A1| = (  +1) 2  = － 1 是 A1的特征值。 当  ＝－1 时，可得| E- A1|＝0021，于是，1 ＝（ --52，51）T 是 A 的特征向量，选择与1正交的向量组成酉阵U2 = 52515152 -，U2 *A1U2 = 51211252832112 =10101 3－ 9 若 S，T 分别是实对称矩阵和反实对称矩阵，且0)det(iSTE，试证：1))((iSTEiSTE是酉矩阵，。 证明：令1)(),(iSTECiSTEB，BCiSTEiSTEA))((，ABCAA**)( 1**1**))(()())((iSTEiSTEiSTEiSTEABC，又S， T 分别是实对称矩阵和反实对称矩阵，即有TTSS**,，则有，)()())((**1**iSTEiSTEiSTEABC 111))()(()()(iSTEiSTEiSTEiSTEiSTE，因为))((iSTEiSTE 2 ))((iSTEiSTE显然有EAA*，同理可得EAA *，即EAAAA...