北 京 科 技 大 学 2004年硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 高等代数 （共 两 页） 适用专业： 应用数学、计算数学、运筹学与控制工程 说明：①所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。 ②考试用具：不得使用任何电子计算仪器。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 一．（1 5 分）计算行列式：abbbcabbccabccca。 二．（1 5 分）设三阶方阵111111111A ，试计算nA 。 三．（2 0 分）证明： （1 ）若,A B 都是n 阶方阵，且0AB ，则 rankArankBn。（rankA 表示矩阵 A 的秩） （2 ）若 n 阶方阵 A 满足条件2AE，则()()rank AErank AEn。 四．（1 5 分）已知：在四维向量空间V 中11111,,,2222 ，21115,,,6626，12(,)WL ，求W 。 五．（2 0 分）设1(1 ,0 )T ，2(0 ,1 )T 是二维向量空间V 的一组基，(2 ,3 )T ，( 4 ,9 )T 。 是V 上的一个线性变换，且1( ) ，2() 。 （1 ）写出线性变换 在基12, 之下的矩阵。 （2 ）求出线性变换 的逆变换。 （3 ）求出线性变换 的特征值和特征向量。 （4 ）求出线性变换 的全部不变子空间。 六．（2 0 分） （1 ）若矩阵 A 与矩阵 B 相似，证明：A 与 B 有相同的特征值。 （2 ）举例说明，上述命题的逆命题不成立。 （3 ）若 A 与 B 均为对称矩阵，则（1 ）的逆命题成立。 第 1 页 （续上页） 七．（1 5 分）求一个三次多项式( )f x ，使得( ) 1f x 能被2(1 )x整除，而( ) 1f x 能被2(1 )x整除。 八．（1 5 分）若 A 是n 阶方阵，且对任意的非零向量 ，都有0T A 。证明：存在正定矩阵 B 及反对称矩阵C ，使得ABC，并且对任意向量 ，都有TTAB，0TC 。 九．（1 5 分）如果, 都是幂等（2，2）的线性变换。证明： （1 ）如果 ，则 也是幂等变换。 （2 ）如果是幂等变换，则0 。 第 2 页 北 京 科 技 大 学 2011年硕士学位研究生入学考试试题 ===========...
