焦点角形若干性质探究

1 / 6 焦点三角形若干性质探究华东师范大学松江实验高级中学金德江定义： 椭圆（双曲线） 上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直角三角形。与这个三角形有关的问题是高考的热点，经久不衰，题型灵活多样。为方便叙述，先介绍几个一般性结论。1：该三角形一边长为焦距，另两边的和（差）为定值。2：椭圆焦点三角形中，顶点在椭圆上的点到另两点的张角中，以短轴端点到这两点的张角最大。简证 1：可由定义得2：设 P 是椭圆22221xyab（0ab， c 为半焦距）上的一点，O 为原点， E、F是椭圆的两焦点，PEm， PFn则222222244222cos1122mncbmnbbEPFmnmnmna，由余弦函数图象性质知EPF 的最大值为222arccos(1)ba，当且仅当P 在短轴端点时取到该最大值。一、考察两边和（差）的定值例 1（ 1）（2006 四川卷）如图把椭圆2212516xy的长轴AB 分成 8 分，过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半部分于1P ,2P ,⋯⋯7P 七个点， F 是椭圆的一个焦点，则127......PFP FP F_____ 解：只需取椭圆的另一焦点与1P ,2P ,⋯⋯7P 七个点分别连接， 由结论 1 和对称性可知1271......145352PFP FP F（2）（2006 江西卷） 9、 P是双曲线22xy1916－＝ 的右支上一点，M、N分别是圆（ x＋ 5）2＋y2＝4 和（ x－5）2＋y2＝1 上的点，则 |PM| －|PN| 的最大值为（）A. 6 B.7 C.8 D.9 解圆（ x＋5）2＋y2＝ 4 和（ x－5）2＋y2＝1 的圆心5,0 , 5,0 为双曲线的左右焦点，分别2 / 6 设为点12,F F ，对于双曲线22xy1916－＝ 的右支上一点P ， M 是圆（ x＋5）2＋y2＝4 上的动点， PM 的最大值为12PF，N 是圆（x－5）2＋ y2＝1 上的动点， PN 的最小值为21PF由结论 1|PM| －|PN| 的最大值为123639PFPF，故选 D二、考察结论2 的张角最大问题例 2（2004 湖南卷）2212,:1,84xyF FC是椭圆的焦点的个数为？的点上满足在PPFPFC21解由结论 2，EPF 的最大值为222arccos(1)ba=24arccos(1)8212CPFPFP在 上满足的点 的个数为 2 个注：该题若改变数值使EPF 的最大值为钝角，则可得4 点，亦可变条件12PFPF 为12Rt PF F ，则在 C 上可得到更多满足条件的点。（亦可转化以中心为圆心，以c 为半径的圆与椭圆的交点个数）三、考察焦点直角三角形例 3 （1）2007 全国 2 卷 11．设12FF，分别是双曲线2222xyab的左、右焦点，若双曲线上存在点 A ，使1290...