成都高校联盟家教中心函数零点易错题三角函数重难点教师版函数的零点是函数图象的一个重要的特征，同时也沟通了函数、方程、不等式以及算法等内容，在分析解题思路、探求解题方法中起着重要的作用，因此要重视对函数零点的学习．下面就函数的零点判定中的几个误区进行剖析，希望对大家有所帮助．1．因＂望文生义＂而致误例１．函数的零点是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．，Ｄ．１，２错解：Ｃ错解剖析：错误的原因是没有理解零点的概念，＂望文生义＂，认为零点就是一个点．而函数的零点是一个实数，即使成立的实数，也是函数的图象与轴交点的横坐标．正解：由得，＝１和２，所以选Ｄ．点拨：求函数的零点有两个方法，⑴代数法：求方程的实数根，⑵几何法：由公式不能直接求得，可以将它与函数的图象联系起来，函数的图象与轴交点的横坐标．即使所求．2．因函数的图象不连续而致误例２．函数的零点个数为（）Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３错解：因为，，所以，函数有一个零点，选Ｂ．错解剖析：分析函数的有关问题首先考虑定义域，其次考虑函数的图象是不是连续的，这里的函数图像是不连续的，所以不能用零点判定定理．正解：函数的定义域为，当时，，当时，所以函数没有零点．也可由得方程无实数解．点拨：对函数零点个数的判定，可以利用零点存在性定理来判定，涉及多个零点的往往借助于函数的单调性．若函数在区间上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即,则在区间内，函数至少有一个零点，即相应的方程在区间至少有一个实数解．然而对于函数的，若满足，则在区间内不一定有零点；反之，在区间内有零点也不一定有．前者是因为图象不连续，后者是因为方程有重根．如下图所示：地址：温江西大街42号一单元6楼成绩提高热线：028—827246451成都高校联盟家教中心abxyOyxO-113．因函数值同号而致误例３．判定函数在区间内是否有零点．错解：因为，所以，函数在区间内没有零点．错解剖析：上述做法错误地用了函数零点判定定理，因为函数在区间上的函数图像是连续曲线，且，也可能在内有零点．如函数在区间上有，但在内有零点．正解：当时，，函数在上的图象与轴没有交点，即函数在区间内没有零点．法二：由得，故函数在区间内没有零点．点拨：对有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数有零点１，（如上图）但函数值没变号．对函数零点的判定一定要抓住两点：①函数在区间上的图象是连续曲线，②在区间端点的函数值符号相反，即．4．因忽略区间端点而致误例４．已知二次函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围．错解：由函数的零点的性质得，即，解得．所以实数的取值范围为．错解剖析：错解的原因是只注意到函数零点的应用，而忽略问题的其它形式：①在上有二重根；②终点的函数值可能为０．正解：⑴当方程在上有两个相等实根时，且，此时无解．地址：温江西大街42号一单元6楼成绩提高热线：028—827246452成都高校联盟家教中心⑵当方程有两个不相等的实根时，①有且只有一根在上时，有，即，解得②当时，＝０，，解得，合题意．③当时，，方程可化为，解得合题意．综上所述，实数的取值范围为．点拨：在求参数时，要注意将函数零点的特殊性质与函数的有关性质相结合，进行分类讨论使复杂的问题简单化．本文已在《学苑新报》上发表方程的根与函数的零点1．函数的零点为（）A、B、C、D、不存在2．函数的零点个数为（）A、0B、1C、2D、33.函数的零点一定位于区间（）.A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)1.C2.D3.易知函数在定义域内是增函数. ，，.∴，即函数的零点在区间(2,3).所以选B.4.求证方程在内必有一个实数根.4.证明：设函数.由函数的单调性定义，可以证出函数在是减函数.而，，即，说明函数在区间内有零点，且只有一个.所以方程在内必有一个实数根.点评：等价转化是高中数学解题中处理问题的一种重要思想，它是将不熟悉的问题转化为熟地址：温江西大街42号一单元6楼成绩提高热线：028—827246453成都高校联盟家教中心悉的问题，每个问题的求解过程正是这样一种逐步的转化.此题可变式为研究方程的实根个数.5.（1）若方程在内恰有一解,...
