多元统计分析第二章多元正态分布

1 第2 章 多元正态分布 多元正态分析是一元正态分布向多元的自然推广。多元正态分布是多元分析的基础，多元分析的许多理论都是建立在多元正态总体基础上的。虽然实际的数据不一定恰好是多元正态的，但是正态分布常常是真实的总体分布的一种有效的近似。所以研究多元正态分布在理论上或实际上都有重大意义。限于篇幅，本章仅简介多元正态简单理论，细节可参看王学民（2004），张尧庭（2002），余锦华（2005），Richard（2003），朱道元（1999）等。 现实世界的许多问题都可以纳入正态理论的范围内，正态分布可以作为许多统计量的近似的抽样分布。 2 .1 随机向量 2 .1 .1 随机向量 定义 2.1.1：称每个分量都是随机变量的向量为随机向量。 类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。 设1,,pXXX是1p 随机向量，其概率分布函数定义为： 111,,,,pppF xxP XxXx，1,,pxx为任意实数 多元分布函数 1,,pF xx有如下性质： （1）10,,1pF xx； （2） 1,,pF xx是每个变量,1,2,,ix ip的非降右连续函数； （3） ,,1F  ； （4） 211,,,,,,,0ppFxxF xxF x 。 多元分布和一元分布一样也分为离散型和连续型。连续型随机向量1,,pXXX的分布函数可以表示为 ： 1111,,,,pxxpppF xxf ttdtdt ，1,,ppxxR (2.1) 称 1,,pfxx是1,,pXXX的多元联合概率密度，简称多元概率密度或多元密度。 2 多元概率密度1,,pfxx有以下性质： （1）1,,pfxx非负； （2）11,,1ppf xxdxdx； （3）111,,,,pppnF xxfxxxx 2 .1 .2 边缘分布、条件分布和独立性 边缘分布 设1,,pXXX是 p 维连续型随机向量，由其 q 个分量组成的向量 1X（不妨设  11,,qXXX）的分布称为的边缘分布，其边缘概率密度为：  1111,,,,Xqpqpfxxf xxdxdx  (2.2) 条件分布 设1,,pXXX是 p 维连续型随机向量，  11,,qXXX,    2112,,,,,0qpXqpXXXfxx,在给定 2X的条件下, 1X的条件概率密度函数为：  21111,,,,,,,,pqqpXqpf xxf...