一、8 字模型 模型 1 角的“8”字模型 如图所示，AC、BD 相交于点 O， 连接 AD、BC。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C。 证明：在△AOD 和△BOC 中，∠AOD=∠BOC（对顶角）又∵∠A+∠D+∠AOD=∠B+∠C+∠BOC=180°∴∠A+∠D=∠B+∠C模型分析8 字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。 模型实例观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= _____； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= _____。 模型精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=____ ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= ______。 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=_____ 。模型 2 边的“8”字模型 如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC。 结论：AC+BD>AD+BC。 证明：在△AOD 中，AO+OD>AD 在△BOC 中，BO+OC>BCAC+BD=(A0+OC)+(B0+OD)>AD+BC∴∴AC+BD>AD+BC模型实例如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD； （2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD. 模型 3 相似 8 字模型（又称 X 字型）⑴ 如图 8 型，对顶角的对边平行，则△ADE∽△ABC； ⑵ 如图反 8 型，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE∽△ABC.已知：∠1=∠2，结论：△ADE∽△ABC证明：如图∠1=∠2，又∠DAE=∠BAC（对顶角） ∴∠E=∠C（∠D=∠B） ∴△ADE∽△ABC（AAA）模型分析在相似三角形的判定中，我们常通过作平行线，从而得到 8 字形相似（有时得到 A 字形相似，后面会讲到），在做题时，我们也常常关注题目中由平行线产生的相似三角形。以下题目由沈阳数学高老师提供模型例题：如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连接 BD 并延长与 CE 交于点 E.⑴ 求证：△ABD∽△CED；⑵ 若 AB=6，AD=2CD，求 BE 的长.练习：1. 如图 7，点 P 是□ABCD 边 AB 上的一点，射线 CP 交 DA 的延长线于点 E，则图中相似的三角形有（ ） A． 0 对 B． 1 对 C． 2 对 D． 3 对2．如图 8，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠ACB 的角平分线分别交 AB、BD于 M、N 两点，若 AM=2，则线段 ON 的长为（ ） A． B． C．1 D．3. 如图 9，在□ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 为 OD 的中点，连接 AE 并延长交 DC 于点F，则 DF∶FC 等于（ ）A.1∶4 B.1∶3 C.2∶3 D.1∶2图 7 图 8 图 9
