1第三届阿里巴巴全球数学竞赛预赛部分参考答案1,2. 在一个虚拟的世界中, 每个居民(设想为没有大小的几何点) 依次编号为 1, 2, · · · . 为了抗击某种疫情, 这些居民要接种某疫苗，并在注射后在现场留观一段时间。现在假设留观的场所是平面上的一个半径为 1 4 的圆周。为了安全，要求第 m 号居民和第 n 号居民之间的距离 dm,n 满足(m + n)dm,n ≥ 1,这里我们考虑的是圆周上的距离, 也就是两点间劣弧的弧长。那么1 选择题(4 分) 下列选项( ) 符合实际情况。A 这个留观室最多能容纳 8 个居民;B 这个留观室能容纳的居民个数有大千 8 的上限;C 这个留观室可以容纳任意多个居民。2 证明题(6 分) 证明你的论断。m,21 π k4224444224481R1 答案. 选项 C 符合实际情况.R2 答案. 解法一. 我们可以按下述方式安排第 1, 2, . . . 号居民的位置. 首先, 任意安排第 1 号居民的位置。对 n ≥ 2, 若第 1, 2, . . . , n − 1 号居民的位置已经被安排好, 我们考虑第 n 号居民不能在哪些位置。对千 1 ≤ m ≤ n − 1, 由 dm,n ≥ 1 , 我们知道, 从第 m 号居民的位置开始, 沿顺、逆时针方向各走 1 m+n 的距离 所形成的长度为 2 m+n 的圆弧内部是不可以安排第 n 号居民的. 而这些圆弧的总长度 2 + 2 +· · ·+ 2 < 2(ln n + 1 +ln n + 2 +· · ·+ln 2n − 1 ) = 2 ln 2n − 1 < 2 ln 2.n + 1 n + 22n − 1nn + 12n − 2n因此, 这些圆弧的并集的总长度不超过 2 ln 2, 而整个圆周长为 1 · 2π = π . 熟知 π >1.5 > 2 ln 2, 故这些圆弧不能覆盖整个圆周, 因此第 n 号居民总可以选择一个合适的位置, 使得他与第 1, 2, . . . , n − 1 号居民之间的距离均满足题目条件. 由数学归纳法可知，这个圆周可以容纳任意多个居民.解法二.我们以圆周的圆心为原点建立平面直角坐标系，并将第 1, 2, 3, 4 号居民分别放在 ( 1 , 0), (− 1 , 0), (0, 1), (0, − 1 ) 处, 即他们的辐角主值分别为 0, π, π , 3π . 此时任意两名居民的距离不小千 2 · 1 · π = π > 1 , 故此时的 4 名居民满足题目条件.我们使用数学归纳法证明下面命题: 对整数 k > 2, 可以将第 1, 2, . . . , 2k 号居民安置千圆周上一个内接正 2k 边形的各个...
