1 “物体从球面顶点下滑问题”的研究杨玉超( 安徽省淮南市第十三中学安徽 232072) “物体从球面顶点下滑”的一般问题: 一个质量为 m 的质点, 在重力作用下自一半径为 r 的固定球面的最高点无初速度滑下,若质点与球面间的摩擦系数,求质点离开球面时,它与球心的连线与竖直方向夹角所满足的关系?解:由牛顿第二定律法向方程:rmvNmg2cos①由动能定理:)21()sin(2mvdrdNmg②消去 N 得:0)cossin(222dgrgrvdv③对③式,记1),(2vP,)cossin(2),(22grgrvvQ由于2vQP,③式不是全微分方程,但)(2)(12vQPP,与2v 无关,故有积分因子,设有)(f形式的积分因子,22)()(eeefdd,以)(f乘③式两端得全微分方程:0)cossin(22222dgrgrvedve④对④ 式:0cos2sin22222222dgredgredvedve0cos2sin2)(2222dgredgreved积分,dgredgrevedvcos2sin2)(20202202且当0t(0 ,0v)时,可得:)21(142)sincos2(142)cossin2(1422222222gregregrev质点离开球面时,0N,由 ①得:cos2grv代入上式得所求关系:)21(2)sin6cos3(2e即所满足的关系:2)21(2sin6cos3e讨论:若 质点与球面间无摩擦,0 时,上式为2cos3,θr ο2 即所满足的关系:32arccos变式 1:小物体自半径为R 的光滑球面顶点从静止开始下滑,求:(1)物体脱离球面时它与球心的连线与竖直方向夹角? ,(2) 小物体落到地面时的速度?v解析:小物体自光滑球面顶点从静止开始下滑,从运动学角度来看,物体先做圆周运动,脱离后做抛体运动;从动力学角度来看,物体在球面上时受重力和支持力,物体下滑过程中,由于其速率逐渐增加,所以支持力逐渐减小直到脱离球面时减小到零。两物体即将离开尚未完全离开的条件是0N。方法一 : (1) 小物体自光滑球面顶点从静止开始下滑,到即将脱离球面,支持力不做功,只有重力做功,机械能守恒。以球面顶点为势能零点,设物体即将脱离球面的速度为1v :021)cos1(21mvmgR①由牛顿第二定律:RvmNmg21cos②0N,③解得:gRv321,32cos即32arccos(2) 设小物体落到地面时的速度为v ,由机械能守恒得:0212mgRmv,解得:gRv2物体脱离后做抛体运动,其水平方向分速度不变,gRvvx3232cos1设小物体落地速度与水平方向的夹角为,所以392cosvv x,即392arccos方法二:对于球面上运动的质点,运动的轨迹的切线方向上有: dtdvmmgsin①法线方向上有:RvmNmg2cos②3 对于①有dtdsdsdvdtdvg sin( s为运动路程,亦即半圆柱周围弧长)即dsgvdvsin又因为dsRd即Rdgvdvsin③设...