物体从球面顶点下滑问题的研究

1 “物体从球面顶点下滑问题”的研究杨玉超( 安徽省淮南市第十三中学安徽 232072) “物体从球面顶点下滑”的一般问题： 一个质量为 m 的质点， 在重力作用下自一半径为 r 的固定球面的最高点无初速度滑下，若质点与球面间的摩擦系数，求质点离开球面时，它与球心的连线与竖直方向夹角所满足的关系？解：由牛顿第二定律法向方程：rmvNmg2cos①由动能定理：)21()sin(2mvdrdNmg②消去 N 得：0)cossin(222dgrgrvdv③对③式，记1),(2vP，)cossin(2),(22grgrvvQ由于2vQP，③式不是全微分方程，但)(2)(12vQPP，与2v 无关，故有积分因子，设有)(f形式的积分因子，22)()(eeefdd，以)(f乘③式两端得全微分方程：0)cossin(22222dgrgrvedve④对④ 式：0cos2sin22222222dgredgredvedve0cos2sin2)(2222dgredgreved积分，dgredgrevedvcos2sin2)(20202202且当0t（0 ，0v）时，可得：)21(142)sincos2(142)cossin2(1422222222gregregrev质点离开球面时，0N，由 ①得：cos2grv代入上式得所求关系：)21(2)sin6cos3(2e即所满足的关系：2)21(2sin6cos3e讨论：若 质点与球面间无摩擦，0 时，上式为2cos3，θr ο2 即所满足的关系：32arccos变式 1：小物体自半径为R 的光滑球面顶点从静止开始下滑，求：(1)物体脱离球面时它与球心的连线与竖直方向夹角? ，(2) 小物体落到地面时的速度?v解析：小物体自光滑球面顶点从静止开始下滑，从运动学角度来看，物体先做圆周运动，脱离后做抛体运动；从动力学角度来看，物体在球面上时受重力和支持力，物体下滑过程中，由于其速率逐渐增加，所以支持力逐渐减小直到脱离球面时减小到零。两物体即将离开尚未完全离开的条件是0N。方法一 : (1) 小物体自光滑球面顶点从静止开始下滑，到即将脱离球面，支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒。以球面顶点为势能零点，设物体即将脱离球面的速度为1v ：021)cos1(21mvmgR①由牛顿第二定律：RvmNmg21cos②0N，③解得：gRv321，32cos即32arccos(2) 设小物体落到地面时的速度为v ，由机械能守恒得：0212mgRmv，解得：gRv2物体脱离后做抛体运动，其水平方向分速度不变，gRvvx3232cos1设小物体落地速度与水平方向的夹角为，所以392cosvv x，即392arccos方法二：对于球面上运动的质点，运动的轨迹的切线方向上有: dtdvmmgsin①法线方向上有：RvmNmg2cos②3 对于①有dtdsdsdvdtdvg sin（ s为运动路程，亦即半圆柱周围弧长）即dsgvdvsin又因为dsRd即Rdgvdvsin③设...