下载后可任意编辑哈尔滨工程大学讨论生试卷( 年 秋 季 学期) 课程编号: 30003 课程名称: 矩阵论 一．填空( 每空 3 分, 共 45 分) 1.若, 则 3 , 1 。2．在中, 矩阵在线性无关矩阵组下的坐标为 。3. 设中的内积定义为, 若取则子空间的正交补空间的一组基为 4．在欧氏空间中, 满足条件的正交基下的矩阵为。5．已知, 则6, 10, 。6．已知, , 则 。7．设, 则 。 8．设有二次型, 则其对应的 Hermite 矩阵, 且若该二次型正定, 则 的取值范围为。9．设对给定的常值矩阵, 则 。10．已知, 且, 则的特征值为 0, 1, － 1 。11．设, 则 。二．( 10 分) 已知矩阵, 求 A 的谱分解表示式。解答: 则 A 的特征值为当=1 时, 由,得其特征向量为当=3 时, 由,得其特征向量为当=4 时, 由( ,得其特征向量为于是则三．( 8 分) 设是上的算子范数, (1) 证明 ;(2) 设 A 为 n 阶可逆矩阵, 是 A 的特征值, 证明。下载后可任意编辑解答: ( 1) 。 ( 2) , 为其特征值, 存在, 有, 则, 因此, 又由于是的特征值, 同样有, 此即, 故。从而, 。四．( 8 分) 设, 为常值矩阵, 求。解答: 由于因此于是。五．(10 分)已知多项式空间的一个基为, , , 线性变换满足, 1．求在已知基下的矩阵。2．设, 求。解答: 1．=。由此可得, , 故 T 在已知基下的矩阵为。2．。六．( 12 分) 已知, 求的若当标准型 J, 且求相似变换矩阵 P 使得, 并计算。解答: ( 1) , 则矩阵 A 的特征值为, 则其若当矩阵为, 设可逆矩阵, 使得, 即 AP=PJ, 得 此即求解方程组 则, , , 因此, 。( 2) 由( 1) 可知=当时, ,,故 八．设是两个同阶非零的复方阵, 是两个非零的复数, 且, , 。1. 证明存在可逆阵使得, 其中, , , 分别表示阶单位阵和 阶零矩阵。2. 证明当且仅当下列之一成立: ( i) , ; ( ii) , ; ( iii) , 。证明设由, 即。由存在可逆阵使得下载后可任意编辑则令即得证。由即可得证。
