1 / 6 用向量方法求空间角和距离在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的 “三步曲 ”解法 :“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材 ,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题．1求空间角问题空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角．（１）求异面直线所成的角设 a、 b 分别为异面直线 a、b 的方向向量 , 则两异面直线所成的角= arccos||||| |a ba b（２）求线面角设 l 是斜线 l 的方向向量， n是平面的法向量，则斜线 l 与平面所成的角= arcsin||| |||l nln（３）求二面角法一、在内 al ，在内 bl ，其方向如图，则二面角l的平面角= arccos||||a ba b2 / 6 法二、设12,,n n 是二面角l的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l的平面角=1212arccos||||n nnn2求空间距离问题构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求．（１）求点面距离法一、设 n是平面的法向量，在内取一点 B, 则 A 到的距离|||||cos |||AB ndABn法 二 、 设 AO于O, 利 用 AO和 点O 在内的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ．（２）求异面直线的距离法一、找平面使 b且 a，则异面直线a、b 的距离就转化为直线 a 到平面的距离，又转化为点 A 到平面的距离．法二、在 a 上取一点 A, 在 b 上取一点 B, 设 a、b 分别为异面直线 a、b 的方向向量 ,求 n （ na， nb），则异面直线 a、b 的距离|||||cos |||AB ndABn（此方法移植于点面距离的求法）．3 / 6 分例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCDA BC D 中， E、F别是棱1111,A D A B 的中点．（Ⅰ）求异面直线1DEFC与所成的角；（II ）求1BC 和面 EFBD 所成的角；（III ）求1B 到面 EFBD 的距离例 2．如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为 1 的正方形，四边形BBAA是矩形，。平面平面ABCDBBAA（Ⅰ）若AA＝１，求直线 AB 到面'DAC 的距离．（II ） 试问：当AA的长度为多少时，二面角ACAD的大小为？604 / 6 例３．正三棱柱111ABCA B C 的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA 上任意一点．（Ⅰ）求证：直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直；（II...
