矩阵及其运算作业及答案

第二部分矩阵作业第 1 页 共 4 页第二部分矩阵及其运算作业（一） 选择题 (15 分) １．设 A ， B 均为 n 阶矩阵，且22()()ABABAB ，则必有（）(A) AB(B) AE(C)ABBA(D) BE２．设 A ， B 均为 n 阶矩阵，且 ABO ，则 A 和 B （）(A) 至多一个等于零 (B) 都不等于零(C)只有一个等于零(D) 都等于零３．设 A ， B 均为 n 阶对称矩阵，AB 仍为对称矩阵的充分必要条件是（）(A) A 可逆(B) B 可逆 (C) 0AB(D) ABBA４．设 A 为 n 阶矩阵， A 是 A 的伴随矩阵，则A ＝（）(A) 1nA(B) 2nA (C) nA(D) A５．设 A ， B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列公式成立的是（）(A) ()TTTABA B(B) ()TTTABAB(C)111()ABA B(D) 111()ABAB（二）填空题 (15 分) １．设 A ， B 均为 3 阶矩阵，且1,32AB，则 2TB A =。2．设矩阵1123A，232BAAE ，则1B＝。３．设 A 为４阶矩阵，A 是 A 的伴随矩阵，若2A，则 A ＝。４．设 A ， B 均为 n 阶矩阵，2,3AB，则12A B＝。５．设101020101A，2n为整数，则12nnAA＝。（三）计算题 ( ５０分 ) 1． 设010111101A,112053B, 且 XAXB ，求矩阵 X 。第二部分矩阵作业第 2 页 共 4 页２．设101110012A骣÷?÷?÷?÷=-?÷?÷?÷÷?桫，301110014B骣÷?÷?÷?÷= ?÷?÷?÷÷?桫， X 为未知矩阵，且满足：AXB=，求逆矩阵1A-；并解矩阵方程AXB=。３．设 A 为 n 阶正交矩阵，即TA AE ，且0A，计算 A 和 EA 的值。４．设111111111A，12A XAX*-=+，求矩阵 X 。５．1111121113A，求1()A（四）证明题 ( ２０分 ) １．设 A 为 n 阶方阵，且234AAEO ，其中 E 为 n 阶单位矩阵，证明：A 可逆，并求1A；若2A，求 68AE 的值。２．设 A ， B 为 n 阶方阵， ABE ，证明： ABBA。第二部分矩阵作业第 3 页 共 4 页自测题参考答案：（一） １． (C) ２。 (D) ３．(D) ４． (A) ５． (B) （二） １．48 2．10211 3．-8 4．21123n 5．000000000（三） １．131()2211XEAB２．1211221111A-骣--÷?÷?÷?÷=--?÷?÷?÷÷?-桫1XA B-=＝211 301522221 110432111014223骣骣骣----鼢?珑?鼢?珑?鼢?珑?鼢?--=--珑?鼢?珑?鼢?珑?鼢?鼢?珑?--桫桫桫３．1A，0EA提示：由于21TTAAA AAE，则1A，因为0A，所以1A；因为TTTEAAAAA EAEAEA所以0EA。４．11010114101X（提示：因为AAA AA E ，方程两边左乘A ，1(2 ),(2 )A EA XE XA EA--==-）５．1521()220101A（提示： AAA AA E ，11()AAA，由于1111121113A，用初等变换可求出52112202101A，而12A，所以1521()220101A）（四）１．11 (3 )4AAE ，2682nAE提示：因为21334,()44AAEO AAEE ，所以11 (3 )4AAE第二部分矩阵作业第 4 页 共 4 页222268626222nnAEAAAAA２．提示：因为,,ABE AEB BEA ，于是()()BAEAEBEABABAB