平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量的基本定理及坐标表示 一、目标认知 学习目标： 1．了解平面向量的基本定理及其意义； 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 重点： 平面向量基本定理与平面向量的坐标运算. 难点： 平面向量基本定理的理解与应用，向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 二、知识要点梳理 知识点一：平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合. ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的. 这说明如果且，那么. ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际 上是平面向量坐标表示的基础. 要点诠释： 平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量. 知识点二：向量坐标与点坐标的关系 当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若 A(x，y)，则=(x，y). 要点诠释： 当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x2-x1，y2-y1). 知识点三：平面向量的坐标运算 运 算 坐标语言 加法与减法 记=(x1，y1)，=(x2，y2) =(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1) 实数与向量的乘积 记=(x，y)，则=(x，y) 知识点四：平面向量平行(共线)的坐标表示 设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0. 要点诠释： 若，则∥不能表示成因为分母有可能为 0. 三、规律方法指导 1．用向量证明几何问题的一般思路： 先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明. 2．三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 =(x2-x1 ，y2-y1) ， =(x3-x1 ，y3-y1) 若则A，B，C 三点共线. 经典例题透析 类型一：平面向量基本定理 1．P是△ABC 内一点，且满足条件，设Q为延长线与AB 的交点，令，用表示. 思路点拨：这里选取，两不共线向量为基底，运用化归思想，最终变成形式求解. 解析： 又因为A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线 而，为不共线向量 故： ...