知识点：平面曲线的曲率（M C20306） 1 背景知识与引入方法 在 微 分 几 何 学 中 ,与 平 面 曲 线 有 关 的 是 三 个 基 本 概 念 ： 长 度 、 切 线 和 曲 率 . 瑞 士 数 学 家 L欧 拉 在 1736 年 首 先 引 进 了 平 面 曲 线 内 在 坐 标 这 一 概 念 .从 而 开 始 了 曲线 内 在 几 何 的 研 究 .欧 拉 将 曲 率 描 述 为 曲 线 的 切 线 方 向 和 一 固 定 方 向 的 交 角 相 对 于 弧 长的 变 化 率 ,这 也 成 为 一 些 教 材 引 入 曲 率 概 念 的 方 法 之 一. 1847 年 弗 雷 内 得 出 了 曲 线 的 基 本 微 分 方 程 ,亦 即 统 称 弗 雷 内 公 式 .后 来 ,G 达 布 创 造了 空 间 曲 线 的 活 动 标 架 概 念 ,完 整 地 建 立 起 曲 线 理 论 .所 以 有 些 教 材 把 空 间 的 弗 雷 内 标 架改 造 为 平 面 弗 雷 内 公 式 而 导 出 带 有 正 负 号 平 面 曲 线 曲 率 公 式 ，它 既 表 示 曲 线 的 弯 曲 程 度 ，又 表 示 曲 线 的 弯 曲 方 向 .（ 如 ： 萧 树 铁 、 居 余马主编的 《高等数 学 》第Ⅲ卷,或马知恩、王锦森主编的 《工科数 学 分 析基 础》）. 大多教 材 通常在 直角 坐 标 系下,在 曲 线 上相 邻两点 的 切 向 量( )t s 和()t ss 之 间 夹 角关 于 弧 长s 的 变 化 率||lim0ss引 出 曲 率 公 式. 由 实 际 问 题 先 引 出 曲 率 圆 、 曲 率 半 径 概 念 ,由 曲 率 半 径 概 念 自 然 给 出 曲 率 定 义 ,我 们认 为 方 法 简 洁 省 事 （ 如 章 栋 恩等人 编写 《高等数 学 》上册 ）. 2 该知识点讲解方法 2.1 讲 解 方 法 一 ： 曲 率 是 一 个 构 造 型 的 定 义 ,通常由 解 决 某 一 具 体 实 际 问 题 的 方 法 来 讲 清 其 构 造 的 道理 ,再 引 出 曲 率 概 念 其 教 法 更 为 简 捷 ,例 如 力 学 问 题 中 质 点 做 曲 线 运 动 ,在 某 点 局 部 情 形的 研 究 ,可 用 圆 周 曲 线 来 代 替 ,而 此 圆 周 曲 线 ...
